Exercice : Calcul d'intégrales et aires

Étape 1

Pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0, 1]$, la fonction exponentielle est strictement croissante, d'où :$$e^0 \le e^x \le e^1 \quad \text{soit} \quad 1 \le e^x \le e$$

Étape 2

Pour tout $x \in [0, 1]$, on a $1 - x \ge 0$, donc $(1 - x)^k \ge 0$. En multipliant chaque membre de l'encadrement par $(1 - x)^k$, les inégalités conservent leur sens :$$(1 - x)^k \le (1 - x)^k e^x \le e(1 - x)^k$$

Étape 3

Par intégration des inégalités sur l'intervalle $[0, 1]$ (les bornes étant dans l'ordre croissant $0 < 1$), on obtient :$$I_k \le \int_0^1 e(1 - x)^k \,\mathrm{d}x = e \int_0^1 (1 - x)^k \,\mathrm{d}x$$

Étape 4

Déterminons une primitive de la fonction $x \mapsto (1 - x)^k$ sur $[0, 1]$. Une primitive est donnée par $x \mapsto -\frac{(1 - x)^{k+1}}{k+1}$. On calcule alors l'intégrale :$$\int_0^1 (1 - x)^k \,\mathrm{d}x = \left[ -\frac{(1 - x)^{k+1}}{k+1} \right]_0^1 = 0 - \left( -\frac{1}{k+1} \right) = \frac{1}{k+1}$$

Étape 5

La majoration garantie par cette méthode est donc :$$I_k \le \frac{e}{k+1}$$

Étape 6

On cherche la plus petite valeur de l'entier $k \ge 1$ telle que :$$\frac{e}{k+1} < \frac{e}{15}$$Comme $e > 0$, cela équivaut à $k + 1 > 15$, soit $k > 14$. Le plus petit entier naturel satisfaisant cette condition est $15$.