Étape 1
On cherche à exprimer l'intégrale $I$ en fonction du paramètre $k$. Pour cela, on effectue une intégration par parties.
Étape 2
Soient $u$ et $v$ les fonctions définies sur $[1, e]$ par : $$u(x) = \ln(x) \quad \text{et} \quad v'(x) = kx + 2$$ Ces fonctions sont dérivables et leurs dérivées $u'(x) = \dfrac{1}{x}$ et $v(x) = \dfrac{k}{2}x^2 + 2x$ sont continues sur $[1, e]$.
Étape 3
En appliquant la formule d'intégration par parties, on obtient : $$I = \left[ \left(\frac{k}{2}x^2 + 2x\right) \ln(x) \right]_1^e - \int_1^e \frac{1}{x} \left(\frac{k}{2}x^2 + 2x\right) \mathrm{d}x$$
Étape 4
On calcule d'abord le crochet : $$\left[ \left(\frac{k}{2}x^2 + 2x\right) \ln(x) \right]_1^e = \left(\frac{k}{2}e^2 + 2e\right) \ln(e) - \left(\frac{k}{2} + 2\right) \ln(1) = \frac{k}{2}e^2 + 2e$$ car $\ln(e) = 1$ et $\ln(1) = 0$.
Étape 5
On simplifie l'intégrande de la seconde intégrale : $$\frac{1}{x} \left(\frac{k}{2}x^2 + 2x\right) = \frac{k}{2}x + 2$$
Étape 6
On calcule cette seconde intégrale : $$\int_1^e \left(\frac{k}{2}x + 2\right) \mathrm{d}x = \left[ \frac{k}{4}x^2 + 2x \right]_1^e = \left(\frac{k}{4}e^2 + 2e\right) - \left(\frac{k}{4} + 2\right)$$
Étape 7
En rassemblant les deux parties, l'intégrale $I$ devient : $$I = \frac{k}{2}e^2 + 2e - \left(\frac{k}{4}e^2 + 2e - \frac{k}{4} - 2\right)$$ $$I = \frac{k}{2}e^2 + 2e - \frac{k}{4}e^2 - 2e + \frac{k}{4} + 2$$ $$I = \frac{k}{4}e^2 + \frac{k}{4} + 2 = \frac{k}{4}(e^2 + 1) + 2$$
Étape 8
Or, l'énoncé précise que $I = 3e^2 + 5$. On résout donc l'équation : $$\frac{k}{4}(e^2 + 1) + 2 = 3e^2 + 5$$ Ce qui équivaut à : $$\frac{k}{4}(e^2 + 1) = 3e^2 + 3$$ $$\frac{k}{4}(e^2 + 1) = 3(e^2 + 1)$$ Comme $e^2 + 1 \neq 0$, on peut diviser par $e^2 + 1$ de chaque côté : $$\frac{k}{4} = 3 \quad \text{d'où} \quad k = 12$$
Méthode clé
Lorsqu'un logarithme est multiplié par une expression polynomiale dans une intégrale, poser $u(x) = \ln(x)$ pour se débarrasser du logarithme lors de la dérivation.
Piège à éviter
Attention à la distribution du signe moins sur l'ensemble des termes entre crochets lors du calcul de la seconde intégrale.
