Exercice : Calcul d'intégrales et aires

Automatisme Réussi

Soit $k$ un nombre réel et $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~2]$ par $f(x) = 3x^2 + k$.

On sait que $\int_{0}^{2} (3x^2 + k) \, \mathrm{d}x = 14$.

En déterminant d'abord une primitive de la fonction $f$ en fonction de $k$, calculer la valeur du réel $k$.

Saisir la valeur du réel $k$.

Indice 1 : Déterminez une primitive $F(x)$ de $x \mapsto 3x^2 + k$ sur $[0~;~2]$.

Indice 2 : Exprimez $F(2) - F(0)$ en fonction de $k$, puis résolvez $F(2) - F(0) = 14$.

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Réponse finale

Étape 1

Une primitive de la fonction $f : x \mapsto 3x^2 + k$ sur l'intervalle $[0~;~2]$ est la fonction $F$ définie par $F(x) = x^3 + k x$.

Étape 2

D'après le cours, le calcul de l'intégrale donne : $$ \int_{0}^{2} (3x^2 + k) \, \mathrm{d}x = [x^3 + k x]_0^2 $$

Étape 3

En évaluant aux bornes $2$ et $0$, on obtient : $$ F(2) - F(0) = (2^3 + k \times 2) - (0^3 + k \times 0) = 8 + 2k $$

Étape 4

On sait par l'énoncé que cette intégrale est égale à $14$. On résout donc l'équation : $$ 8 + 2k = 14 $$

Étape 5

Ce qui donne $2k = 14 - 8$, soit $2k = 6$, et enfin $k = 3$.

Méthode clé

Exprimer l'intégrale en fonction du paramètre $k$ à l'aide d'une primitive, puis résoudre l'équation du premier degré obtenue.

Piège à éviter

Oublier de multiplier la constante $k$ par $x$ lors de la recherche de primitive (la primitive d'une constante $k$ est $k x$).