Exercice : Calcul d'intégrales et aires

Étape 1

Sur l'intervalle $[0~;~2]$, la courbe de la fonction $f_k$ est située au-dessus de celle de la fonction $g$. L'aire $\mathcal{A}$ de la surface délimitée par ces deux courbes entre $x = 0$ et $x = 2$ est égale à : $$\mathcal{A} = \int_{0}^{2} (f_k(x) - g(x)) \,\mathrm{d}x$$

Étape 2

Déterminons l'expression de la fonction à intégrer : $$f_k(x) - g(x) = (x^2 + k) - (2x - 1) = x^2 - 2x + k + 1$$

Étape 3

Une primitive $H_k$ de la fonction $x \mapsto x^2 - 2x + k + 1$ sur l'intervalle $[0~;~2]$ est donnée par : $$H_k(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + (k + 1)x$$

Étape 4

Calculons la valeur de l'intégrale en fonction de $k$ : $$\mathcal{A} = H_k(2) - H_k(0) = \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 + (k + 1) \times 2 \right) - 0 = \frac{8}{3} - 4 + 2k + 2 = 2k + \frac{2}{3}$$

Étape 5

D'après l'énoncé, cette aire est égale à $\dfrac{20}{3}$. On résout donc l'équation : $$2k + \frac{2}{3} = \frac{20}{3}$$ ce qui équivaut à $$2k = \frac{20}{3} - \frac{2}{3} = \frac{18}{3} = 6$$ d'où $$k = 3$$