Étape 1
Rappelons qu'au sein du pavé droit $ABCDEFGH$, les vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ et $\vec{AE}$ forment une famille de trois vecteurs deux à deux orthogonaux.
Étape 2
Exprimons tout d'abord le vecteur $\vec{AG}$ dans cette base en appliquant la relation de Chasles : $\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CG} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AE}$.
Étape 3
Comme le point $Q$ vérifie $\vec{AQ} = \dfrac{3}{4}\vec{AG}$, nous obtenons : $$\vec{AQ} = \dfrac{3}{4}\vec{AB} + \dfrac{3}{4}\vec{AD} + \dfrac{3}{4}\vec{AE}$$
Étape 4
Le point $P$ est le centre de la face rectangulaire $CDHG$. On a donc : $\vec{AP} = \vec{AD} + \vec{DP} = \vec{AD} + \dfrac{1}{2}\vec{DC} + \dfrac{1}{2}\vec{DH} = \vec{AD} + \dfrac{1}{2}\vec{AB} + \dfrac{1}{2}\vec{AE}$, d'où : $$\vec{AP} = \dfrac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD} + \dfrac{1}{2}\vec{AE}$$
Étape 5
Par la relation de Chasles, exprimons le vecteur $\vec{PQ}$ comme combinaison linéaire de $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ et $\vec{AE}$ : $$\vec{PQ} = \vec{AQ} - \vec{AP} = \left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2}\right)\vec{AB} + \left(\dfrac{3}{4} - 1\right)\vec{AD} + \left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2}\right)\vec{AE}$$ Ce qui donne : $$\vec{PQ} = \dfrac{1}{4}\vec{AB} - \dfrac{1}{4}\vec{AD} + \dfrac{1}{4}\vec{AE}$$
Étape 6
Les trois directions de $\vec{AB}$, $\vec{AD}$ et $\vec{AE}$ étant deux à deux orthogonales, nous calculons les longueurs des déplacements orthogonaux correspondants :
Étape 7
Suivant $\vec{AB}$ : $\dfrac{1}{4} \times 12\text{ cm} = 3\text{ cm}$.
Étape 8
Suivant $\vec{AD}$ : $-\dfrac{1}{4} \times 16\text{ cm} = -4\text{ cm}$.
Étape 9
Suivant $\vec{AE}$ : $\dfrac{1}{4} \times 48\text{ cm} = 12\text{ cm}$.
Étape 10
La longueur $PQ$ est la norme du vecteur $\vec{PQ}$, soit : $$PQ = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ cm}$$
Méthode clé
Pour exprimer la distance entre deux points d'un solide usuel, on decompose le vecteur jointif comme combinaison lineaire de trois vecteurs orthogonaux de reference.
Piège à éviter
Attention a ne pas confondre le centre de la face CDHG (combinaison des trois vecteurs de base) avec un simple milieu d'arete.
