Exercice : Vecteurs et bases de l'espace

Étape 1

D'après la relation de Chasles, on peut décomposer le vecteur $\vec{BH}$ en suivant le chemin passant par les sommets $A$ et $D$ : $$\vec{BH} = \vec{BA} + \vec{AD} + \vec{DH}$$

Étape 2

On exprime ensuite chacun de ces trois vecteurs à l'aide des vecteurs de la base $(\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$ en utilisant les propriétés du parallélépipède $ABCDEFGH$ : - $\vec{BA} = -\vec{AB}$ - $\vec{AD} = \vec{AD}$ - $\vec{DH} = \vec{AE}$ car $AEHD$ est un parallélogramme.

Étape 3

En substituant ces égalités dans la décomposition de $\vec{BH}$, on obtient : $$\vec{BH} = -\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AE}$$

Étape 4

On en déduit par identification avec l'expression $\vec{BH} = x\,\vec{AB} + y\,\vec{AD} + z\,\vec{AE}$ que $x = -1$, $y = 1$ et $z = 1$.

Étape 5

La valeur du nombre réel $x$ est donc $-1$.