Exercice : Vecteurs et bases de l'espace

Étape 1

D'après la relation de Chasles, en introduisant le point $G$, le vecteur $\vec{BM}$ se décompose sous la forme : $$\vec{BM} = \vec{BG} + \vec{GM}$$

Étape 2

Dans le pavé droit $ABCDEFGH$, la face $BCGF$ est un rectangle. On a donc $\vec{BG} = \vec{BC} + \vec{CG} = \vec{AD} + \vec{AE}$.

Étape 3

De plus, par définition du point $M$, on a $\vec{GM} = k \vec{GC}$. Comme $\vec{GC} = -\vec{AE}$, il vient : $$\vec{GM} = -k \vec{AE}$$

Étape 4

En rassemblant ces résultats, on obtient : $$\vec{BM} = \vec{AD} + \vec{AE} - k \vec{AE} = \vec{AD} + (1 - k)\vec{AE}$$

Étape 5

Par identification avec l'expression donnée dans l'énoncé $\vec{BM} = \vec{AD} + 0{,}25 \vec{AE}$, les coefficients devant $\vec{AE}$ doivent être égaux, soit : $$1 - k = 0{,}25$$

Étape 6

Ce qui équivaut à $k = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$.