Étape 1
Trois vecteurs de l'espace ne constituent pas une base si et seulement s'ils sont coplanaires.
Étape 2
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires car leurs composantes selon $\vec{AB}$ et $\vec{AE}$ ne sont pas proportionnelles. Par conséquent, les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels $x$ et $y$ tels que : $$\vec{w} = x\vec{u} + y\vec{v}$$
Étape 3
En remplaçant les vecteurs par leurs décompositions respectives dans la base $(\vec{AB}, \vec{AD},
\vec{AE})$, l'égalité devient : $$2\vec{AB} + 5\vec{AD} + k\vec{AE} = x(\vec{AB} + \vec{AD}) + y(\vec{AD} + 2\vec{AE})$$
Étape 4
En développant et en regroupant les termes par vecteur de base au membre de droite, on obtient : $$2\vec{AB} + 5\vec{AD} + k\vec{AE} = x\vec{AB} + (x + y)\vec{AD} + 2y\vec{AE}$$
Étape 5
Puisque $(\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$ est une base de l'espace, la décomposition de tout vecteur dans cette base est unique. L'égalité vectorielle précédente équivaut donc au système d'équations scalaires suivant : $$\begin{cases} x = 2 \\ x + y = 5 \\ 2y = k \end{cases}$$
Étape 6
La première équation donne directement $x = 2$. En substituant cette valeur dans la deuxième équation, on trouve $2 + y = 5$, d'où $y = 3$. En injectant la valeur de $y$ dans la troisième équation, il vient $k = 2 \times 3 = 6$.
Étape 7
Ainsi, la valeur du réel $k$ pour laquelle le triplet $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ ne forme pas une base de l'espace est $6$.
Méthode clé
Trois vecteurs de l'espace sont coplanaires si et seulement si l'un d'eux s'exprime comme combinaison linéaire des deux autres (lorsque ces derniers ne sont pas colinéaires). Par unicité de la décomposition dans une base, on résout le système sur les coefficients.
Piège à éviter
Attention à ne pas utiliser de déterminant ou de produit vectoriel. Il faut identifier les coefficients terme à terme grâce à l'unicité des coordonnées dans la base de l'espace.
