Exercice : Vecteurs et bases de l'espace

Étape 1

D'après la relation de Chasles, on décompose le vecteur $\vec{AI}$ en passant par les sommets $B$ et $F$ du cube :

Étape 2

$$\vec{AI} = \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FI}$$

Étape 3

Or, dans le cube $ABCDEFGH$, les faces opposées sont des carrés égaux, donc $\vec{BF} = \vec{AE}$ et $\vec{FG} = \vec{AD}$.

Étape 4

Comme le point $I$ est le milieu du segment $[FG]$, on a :

Étape 5

$$\vec{FI} = \frac{1}{2}\vec{FG} = \frac{1}{2}\vec{AD}$$

Étape 6

En remplaçant ces égalités dans la décomposition initiale, on obtient :

Étape 7

$$\vec{AI} = \vec{AB} + \vec{AE} + \frac{1}{2}\vec{AD} = \vec{AB} + 0{,}5\vec{AD} + \vec{AE}$$

Étape 8

Par identification avec l'égalité $\vec{AI} = \vec{AB} + k\vec{AD} + \vec{AE}$, on en déduit que $k = 0{,}5$ (ou $\frac{1}{2}$).