Exercice : Vecteurs et bases de l'espace

Étape 1

Considérons la base de l'espace $(\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$ associée au parallélépipède $ABCDEFGH$.

Étape 2

Exprimons tout d'abord les vecteurs $\vec{CI}$ et $\vec{CJ}$ dans cette base :

Étape 3

$$\vec{CI} = \vec{CB} + \vec{BI} = -\vec{AD} + \left(\frac{2}{3}\vec{AB} - \vec{AB}\right) = -\frac{1}{3}\vec{AB} - \vec{AD}$$

Étape 4

$$\vec{CJ} = \vec{CG} + \vec{GH} + \vec{HJ} = \vec{AE} - \vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{AB} = -\frac{3}{4}\vec{AB} + \vec{AE}$$

Étape 5

Exprimons maintenant le vecteur $\vec{CK}$ en fonction du paramètre $k$ :

Étape 6

$$\vec{DF} = \vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BF} = \vec{AB} - \vec{AD} + \vec{AE}$$

Étape 7

$$\vec{CK} = \vec{CD} + \vec{DK} = -\vec{AB} + k(\vec{AB} - \vec{AD} + \vec{AE}) = (k-1)\vec{AB} - k\vec{AD} + k\vec{AE}$$

Étape 8

Le vecteur $\vec{CK}$ est une combinaison linéaire de $\vec{CI}$ et $\vec{CJ}$ si et seulement s'il existe deux réels $x$ et $y$ tels que :

Étape 9

$$\vec{CK} = x\vec{CI} + y\vec{CJ}$$

Étape 10

En remplaçant par leurs décompositions respectives, cela donne :

Étape 11

$$(k-1)\vec{AB} - k\vec{AD} + k\vec{AE} = x\left(-\frac{1}{3}\vec{AB} - \vec{AD}\right) + y\left(-\frac{3}{4}\vec{AB} + \vec{AE}\right)$$

Étape 12

$$\left(k-1\right)\vec{AB} - k\vec{AD} + k\vec{AE} = \left(-\frac{1}{3}x - \frac{3}{4}y\right)\vec{AB} - x\vec{AD} + y\vec{AE}$$

Étape 13

Puisque $(\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})$ est une base de l'espace, l'unicité de la décomposition permet d'obtenir le système suivant :

Étape 14

$$\begin{cases} -\frac{1}{3}x - \frac{3}{4}y = k - 1 \\ -x = -k \\ y = k \end{cases}$$

Étape 15

Les deux dernières équations donnent immédiatement $x = k$ et $y = k$.

Étape 16

En substituant ces valeurs dans la première équation, on trouve :

Étape 17

$$-\frac{1}{3}k - \frac{3}{4}k = k - 1$$

Étape 18

ce qui équivaut à :

Étape 19

$$-\frac{13}{12}k = k - 1$$

Étape 20

soit :

Étape 21

$$\frac{25}{12}k = 1$$

Étape 22

D'où la valeur de $k$ :

Étape 23

$$k = \frac{12}{25}$$