Étape 1
La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[2 ; 5]$ comme quotient de fonctions affines dont le dénominateur ne s'annule pas sur cet intervalle. Pour tout $x \in [2 ; 5]$, calculons sa dérivée :
Étape 2
$$f'(x) = \frac{k(x - 1) - (kx + 3)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{kx - k - kx - 3}{(x - 1)^2} = \frac{-k - 3}{(x - 1)^2}$$
Étape 3
Par hypothèse, $k > -3$, ce qui équivaut à $-k - 3 < 0$. De plus, pour tout $x \in [2 ; 5]$, $(x - 1)^2 > 0$. On en déduit que $f'(x) < 0$ sur $[2 ; 5]$. La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $[2 ; 5]$.
Étape 4
La fonction $f$ étant continue et strictement décroissante sur $[2 ; 5]$, elle réalise une bijection de $[2 ; 5]$ sur l'intervalle image $J = [f(5) ; f(2)]$.
Étape 5
La borne supérieure de l'intervalle $J$ est donc $f(2)$. D'après l'énoncé, cette borne supérieure vaut $11$, d'où l'égalité $f(2) = 11$.
Étape 6
$$f(2) = \frac{2k + 3}{2 - 1} = 2k + 3$$
Étape 7
On résout ensuite l'équation du premier degré :
Étape 8
$$2k + 3 = 11$$
Étape 9
ce qui donne $2k = 8$, soit $k = 4$. La valeur $4$ est bien strictement supérieure à $-3$.
Méthode clé
Une fonction continue et strictement monotone sur $[a ; b]$ réalise une bijection sur l'intervalle déterminé par les images des bornes, en inversant les bornes si la fonction est strictement décroissante.
Piège à éviter
Associer la borne supérieure du domaine de départ à la borne supérieure de l'intervalle image sans vérifier le sens de variation de la fonction.
