Étape 1
La fonction $f$ est une fonction polynomiale, donc elle est dérivable et continue sur $\mathbb{R}$. Pour tout réel $x$, sa dérivée est donnée par : $$f'(x) = 3x^2 - 9x + 6 = 3(x^2 - 3x + 2)$$ Les racines du trinôme $x^2 - 3x + 2$ sont $x = 1$ et $x = 2$. On en déduit que $f'(x) > 0$ sur $]-\infty\,; 1[ \cup ]2\,; +\infty[$ et $f'(x) < 0$ sur $]1\,; 2[$.
Étape 2
On calcule les images des extremums locaux et les limites aux bornes de l'ensemble de définition : $$f(1) = 1^3 - \dfrac{9}{2}(1)^2 + 6(1) + 1 = 3{,}5$$ $$f(2) = 2^3 - \dfrac{9}{2}(2)^2 + 6(2) + 1 = 3$$ De plus, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
Étape 3
On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection) sur chacun des trois intervalles de monotonie :
- Sur $I_1 = ]-\infty\,; 1]$, $f$ est continue et strictement croissante. L'image de $I_1$ par $f$ est $]-\infty\,; 3{,}5]$. Pour tout $k \in ]3\,; 3{,}5[$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $I_1$.
- Sur $I_2 = [1\,; 2]$, $f$ est continue et strictement décroissante. L'image de $I_2$ par $f$ est $[3\,; 3{,}5]$. Pour tout $k \in ]3\,; 3{,}5[$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $I_2$.
- Sur $I_3 = [2\,; +\infty[$, $f$ est continue et strictement croissante. L'image de $I_3$ par $f$ est $[3\,; +\infty[$. Pour tout $k \in ]3\,; 3{,}5[$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $I_3$.
Étape 4
Ainsi, l'équation $f(x) = k$ admet exactement trois solutions réelles distinctes si et seulement si $k \in ]3\,; 3{,}5[$. L'intervalle des valeurs de $k$ est donc $]3\,; 3{,}5[$, et sa borne supérieure est $b = 3{,}5$.
Méthode clé
Étudier les variations de la fonction et déterminer l'image de chaque intervalle de stricte monotonie afin d'appliquer le corollaire du TVI.
Piège à éviter
Confondre les valeurs des abscisses des extremums ($x = 1$ et $x = 2$) avec les valeurs du paramètre $k$ correspondant aux extremums ($f(1) = 3{,}5$ et $f(2) = 3$).
