Étape 1
La fonction $f$ est une fonction polynomiale, donc elle est continue et dérivable sur $[-2 ; 4]$. Pour tout $x \in [-2 ; 4]$, sa fonction dérivée est donnée par : $$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2)$$
Étape 2
On cherche les racines du trinôme $x^2 - x - 2$. Le discriminant vaut $\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 9$. Les deux racines sont $x_1 = -1$ et $x_2 = 2$. On en déduit la factorisation $$f'(x) = 6(x + 1)(x - 2)$$
Étape 3
On dresse le tableau de variations de $f$ sur $[-2 ; 4]$ en calculant les images aux extremums et aux bornes : $f(-2) = 1$, $f(-1) = 12$, $f(2) = -15$ et $f(4) = 37$.$$\begin{array}{c|ccccccc}x & -2 & & -1 & & 2 & & 4 \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f(x) & 1 & \rceil & 12 & \lfloor & -15 & \rceil & 37\end{array}$$
Étape 4
On applique le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection) sur chaque sous-intervalle de monotonie :
Étape 5
1. Sur $I_1 = [-2 ; -1]$, $f$ est continue et strictement croissante. L'image de $I_1$ par $f$ est l'intervalle $[1 ; 12]$. L'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $I_1$ si et seulement si $k \in [1 ; 12]$.
Étape 6
2. Sur $I_2 = [-1 ; 2]$, $f$ est continue et strictement décroissante. L'image de $I_2$ par $f$ est l'intervalle $[-15 ; 12]$. L'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $I_2$ si et seulement si $k \in [-15 ; 12]$.
Étape 7
3. Sur $I_3 = [2 ; 4]$, $f$ est continue et strictement croissante. L'image de $I_3$ par $f$ est l'intervalle $[-15 ; 37]$. L'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $I_3$ si et seulement si $k \in [-15 ; 37]$.
Étape 8
Pour que l'équation $f(x) = k$ admette trois solutions réelles distinctes sur $[-2 ; 4]$, il faut et il suffit que $k$ appartienne à l'intersection des trois ensembles images : $$k \in [1 ; 12] \cap [-15 ; 12] \cap [-15 ; 37] = [1 ; 12]$$
Étape 9
Étudions les bornes de cet intervalle : pour $k = 12$, la solution sur $I_1$ et la solution sur $I_2$ sont fondues en $x = -1$. L'équation possède alors seulement 2 solutions distinctes ($x = -1$ et une solution dans $]2 ; 4[$). Ainsi $k = 12$ est exclu. Pour $k = 1$, $x = -2$ est la solution sur $I_1$, et il existe deux autres solutions distinctes dans $]-1 ; 2[$ et $]2 ; 4[$. L'équation admet bien 3 solutions distinctes.
Étape 10
L'ensemble des réels $k$ pour lesquels l'équation possède exactement 3 solutions distinctes est donc $[1 ; 12[$. Les entiers relatifs appartenant à cet intervalle sont $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ et $11$. Il y a donc 11 entiers.
Méthode clé
Sur chaque intervalle où la fonction est continue et strictement monotone, appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires en vérifiant si le réel $k$ appartient à l'intervalle image.
Piège à éviter
Attention aux bornes des intervalles d'images : pour $k = 12$, le maximum local est atteint en $x = -1$, ce qui donne deux solutions distinctes et non trois.
