Étape 1
Étape 1 : Étude des variations de la fonction $f$
La fonction $f$ est dérivable sur $[\ln(2) ; +\infty[$ comme somme et composées de fonctions usuelles dérivables.
Pour tout réel $x \ge \ln(2)$, on calcule sa dérivée :$$f'(x) = 2e^{2x} - 4e^x = 2e^x(e^x - 2)$$Comme $x \ge \ln(2)$, la croissance de la fonction exponentielle donne $e^x \ge e^{\ln(2)} = 2$, d'où $e^x - 2 \ge 0$. De plus, $2e^x > 0$.
On en déduit que $f'(x) \ge 0$ pour tout $x \in [\ln(2) ; +\infty[$, la dérivée ne s'annulant qu'en $x = \ln(2)$. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[\ln(2) ; +\infty[$.
Étape 2
Étape 2 : Détermination de l'intervalle image et application du corollaire du TVI
La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[\ln(2) ; +\infty[$.
On calcule l'image de la borne inférieure :$$f(\ln(2)) = e^{2\ln(2)} - 4e^{\ln(2)} + 5 = (e^{\ln(2)})^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$$On détermine la limite de la fonction en $+\infty$ :$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (e^{2x} - 4e^x + 5) = +\infty$$D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), $f$ réalise une bijection de $[\ln(2) ; +\infty[$ sur l'intervalle $J = [1 ; +\infty[$.
Comme $10 \in [1 ; +\infty[$, l'équation $f(x) = 10$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[\ln(2) ; +\infty[$.
Étape 3
Étape 3 : Résolution algébrique pour déterminer $e^\alpha$
Le réel $\alpha$ vérifie la relation $f(\alpha) = 10$, ce qui équivaut à :$$e^{2\alpha} - 4e^\alpha + 5 = 10$$Ce qui se réécrit sous la forme :$$e^{2\alpha} - 4e^\alpha - 5 = 0$$En posant le changement de variable $X = e^\alpha$ avec $X > 0$, l'équation devient :$$X^2 - 4X - 5 = 0$$On calcule le discriminant de ce polynôme du second degré :$$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times (-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2$$Les deux solutions réelles sont :$$X_1 = \frac{4 - 6}{2} = -1 \quad \text{et} \quad X_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5$$Comme $X = e^\alpha > 0$, la valeur $X_1 = -1$ est à écarter. On conserve donc $X = 5$, soit $e^\alpha = 5$.
Remarque : $e^\alpha = 5 \ge 2$ confirme bien que $\alpha = \ln(5) \ge \ln(2)$, soit $\alpha \in [\ln(2) ; +\infty[$.
Méthode clé
Justifier la stricte monotonie et la continuité pour établir une bijection vers l'intervalle image, puis utiliser un changement de variable pour résoudre l'équation algébrique associee.
Piège à éviter
Conserver la racine négative de l'équation du second degré alors qu'une fonction exponentielle est strictement positive.
