Étape 1
On commence par étudier les variations de la fonction $f$ sur $[-1 ; 5]$. La fonction $f$ est polynomiale, donc continue et dérivable sur $[-1 ; 5]$. Sa fonction dérivée est : $$f'(x) = -2x + 4$$
Étape 2
On résout $f'(x) \geqslant 0$, ce qui équivaut à $-2x \geqslant -4$, c'est-à-dire $x \leqslant 2$. On en déduit le signe de $f'(x)$ : $f'(x) \geqslant 0$ sur $[-1 ; 2]$ donc $f$ y est strictement croissante, et $f'(x) \leqslant 0$ sur $[2 ; 5]$ donc $f$ y est strictement décroissante.
Étape 3
Calculons les images des bornes et du sommet : $$f(-1) = -(-1)^2 + 4(-1) + 1 = -4$$ $$f(2) = -2^2 + 4(2) + 1 = 5$$ $$f(5) = -5^2 + 4(5) + 1 = -4$$
Étape 4
Sur l'intervalle $[-1 ; 2]$ : $f$ est continue car polynomiale, $f$ est strictement croissante, et le nombre $2$ appartient à l'intervalle image $[f(-1) ; f(2)] = [-4 ; 5]$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 2$ possède exactement $1$ solution sur $[-1 ; 2]$.
Étape 5
Sur l'intervalle $[2 ; 5]$ : $f$ est continue car polynomiale, $f$ est strictement décroissante, et le nombre $2$ appartient à l'intervalle image $[f(5) ; f(2)] = [-4 ; 5]$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 2$ possède exactement $1$ solution sur $[2 ; 5]$.
Étape 6
En rassemblant les résultats sur ces deux sous-intervalles disjoints (sauf en $2$ où $f(2) = 5 \neq 2$), l'équation $f(x) = 2$ admet au total $2$ solutions sur $[-1 ; 5]$.
Méthode clé
Pour déterminer le nombre de solutions de $f(x) = k$, on découpe le domaine en intervalles où $f$ est strictement monotone, puis on vérifie la continuité, la monotonie et l'appartenance de $k$ à l'intervalle image sur chacun d'eux.
Piège à éviter
Oublier de vérifier la continuité ou la stricte monotonie de la fonction sur chacun des sous-intervalles avant d'appliquer le corollaire du TVI.
