Exercice : Espérance et variance de sommes

Étape 1

Chaque variable aléatoire $X_i$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}35$. Son espérance est donc :

Étape 2

$$E(X_i) = 0{,}35$$

Étape 3

La variable aléatoire $X$ est la somme de ces $n$ variables aléatoires. Par propriété de linéarité de l'espérance, l'espérance d'une somme est égale à la somme des espérances :

Étape 4

$$E(X) = E\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n E(X_i) = n \times 0{,}35$$

Étape 5

On sait par l'énoncé que $E(X) = 14$. On résout donc l'équation :

Étape 6

$$n \times 0{,}35 = 14$$

Étape 7

$$n = \frac{14}{0{,}35} = \frac{1400}{35} = 40$$

Étape 8

Le nombre $n$ de variables de Bernoulli sommées est donc égal à $40$.