Exercice : Espérance et variance de sommes

Étape 1

Soit $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ un échantillon de variables aléatoires indépendantes et de même loi que $X$. La moyenne d'échantillon est définie par $M_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$.

Étape 2

D'après le cours sur les sommes et moyennes de variables aléatoires indépendantes, la variance de la moyenne d'échantillon $M_n$ vérifie la propriété : $$V(M_n) = \frac{V(X)}{n}$$

Étape 3

En remplaçant $V(X)$ par $12$, la condition $V(M_n) \le 0{,}25$ s'écrit : $$\frac{12}{n} \le 0{,}25$$

Étape 4

Comme $n$ est un entier strictement positif et $0{,}25 = \frac{1}{4}$, cette inéquation équivaut à : $$\frac{12}{n} \le \frac{1}{4}$$ ce qui équivaut à $$n \ge 12 \times 4$$ d'où $$n \ge 48$$

Étape 5

La plus petite valeur entière de $n$ qui vérifie cette condition est donc $48$.