Exercice : Espérance et variance de sommes

Étape 1

Pour chaque entier $i$ compris entre $1$ et $n$, introduisons la variable aléatoire $X_i$ qui prend la valeur $1$ si la $i$-ième épreuve est un succès, et $0$ sinon.

Étape 2

Chaque variable $X_i$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}2$. Sa variance est donnée par : $$V(X_i) = p(1 - p) = 0{,}2 \times (1 - 0{,}2) = 0{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}16$$

Étape 3

Le nombre total de succès s'écrit comme la somme de ces variables aléatoires : $$S_n = X_1 + X_2 + \dots + X_n$$

Étape 4

Les $n$ épreuves étant répétées de manière indépendante, les variables aléatoires $X_1, X_2, \dots, X_n$ sont mutuellement indépendantes.

Étape 5

La variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes étant égale à la somme de leurs variances, on obtient : $$V(S_n) = V(X_1) + V(X_2) + \dots + V(X_n) = n \times 0{,}16$$

Étape 6

On cherche la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que $V(S_n) \ge 12$. Cela équivaut à résumer l'inéquation : $$0{,}16 n \ge 12$$ Ce qui équivaut à : $$n \ge \frac{12}{0{,}16}$$ Comme $\frac{12}{0{,}16} = \frac{1200}{16} = 75$, le plus petit entier naturel recherché est $75$.