Exercice esperance, linearite, somme de variables aleatoires — Espérance et variance de sommes (Terminale Spécialité)

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Une étude statistique sur la gestion d'un atelier modélise le gain quotidien par une variable aléatoire $G$.

On considère $10$ variables aléatoires $X_1, X_2, \dots, X_{10}$ modélisant les recettes de dix secteurs d'activité, ayant toutes pour espérance $E(X_i) = 1{,}5$ millier d'euros pour tout $i \in \{1; \dots; 10\}$.

On note également $Y$ une variable aléatoire représentant les charges de fonctionnement, avec $E(Y) = 8$ milliers d'euros.

Le gain global quotidien $G$ (en milliers d'euros) dépend d'un paramètre réel $k$ selon la relation suivante :

$$G = k \sum_{i=1}^{10} X_i - 2Y + 5$$

On constate expérimentalement que le gain moyen quotidien s'élève à $34$ milliers d'euros, c'est-à-dire que $E(G) = 34$.

Saisir la valeur du paramètre $k$.

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Réponse finale

Étape 1

Par linéarité de l'espérance, pour toutes variables aléatoires et tout réel $k$, l'espérance de la combinaison linéaire $G = k \sum_{i=1}^{10} X_i - 2Y + 5$ s'écrit :$$E(G) = k \sum_{i=1}^{10} E(X_i) - 2 E(Y) + 5$$

Étape 2

On calcule d'abord la somme des espérances des variables $X_i$ :$$\sum_{i=1}^{10} E(X_i) = 10 \times 1{,}5 = 15$$

Étape 3

On substitue les valeurs connues $E(X_i) = 1{,}5$ et $E(Y) = 8$ dans l'expression de $E(G)$ :$$E(G) = k \times 15 - 2 \times 8 + 5 = 15k - 11$$

Étape 4

Sachant que le gain moyen est $E(G) = 34$, on obtient l'équation du premier degré :$$15k - 11 = 34$$

Étape 5

On résout cette équation :$$15k = 34 + 11$$$$15k = 45$$$$k = \frac{45}{15} = 3$$ La valeur du paramètre $k$ est donc $3$.

Méthode clé

L'espérance est une application linéaire : pour toutes variables aléatoires $X, Y$ et tous réels $a, b, c$, on a $E(aX + bY + c) = a E(X) + b E(Y) + c$, quelle que soit la dépendance entre les variables.

Piège à éviter

Chercher à déterminer la loi de probabilité des variables $X_1, \dots, X_{10}$ et $Y$, alors que la propriété de linéarité de l'espérance s'applique directement sur les espérances sans connaître leurs lois.

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Exercice : Espérance et variance de sommes

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