Exercice : Espérance et variance de sommes

Étape 1

Par propriété de linéarité de l'espérance, pour toutes variables aléatoires $X$ et $Y$ et pour tous réels $a$, $b$ et $c$, on a : $$E(aX + bY + c) = a E(X) + b E(Y) + c$$

Étape 2

En appliquant cette propriété à la variable aléatoire $Z = a X + 12 Y - 50$, on obtient : $$E(Z) = a E(X) + 12 E(Y) - 50$$

Étape 3

En remplaçant $E(X)$ par $15$ et $E(Y)$ par $25$, l'expression devient : $$E(Z) = 15a + 12 \times 25 - 50$$ $$E(Z) = 15a + 300 - 50 = 15a + 250$$

Étape 4

On souhaite que l'espérance du bénéfice quotidien $E(Z)$ soit égale à $370$ €. On pose donc l'équation : $$15a + 250 = 370$$

Étape 5

Ce qui équivaut à $15a = 370 - 250$, c'est-à-dire $15a = 120$. D'où $a = \frac{120}{15} = 8$.

Étape 6

La valeur du gain $a$ associée à chaque pièce A doit donc être égale à $8$ €.