Exercice : Espérance et variance de sommes

Étape 1

Soit $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ un échantillon de variables aléatoires indépendantes et de même loi, avec un écart type commun $\sigma = 15$.

Étape 2

D'après les propriétés de la moyenne arithmétique d'un échantillon indépendant et de même loi, l'écart type de la variable aléatoire $M_n$ est donné par la relation :

Étape 3

$$\sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ -

Étape 4

On cherche la taille $n$ de l'échantillon telle que $\sigma(M_n) = 2{,}5$. En remplaçant $\sigma$ par $15$, cela conduit à l'équation :

Étape 5

$$\frac{15}{\sqrt{n}} = 2{,}5$$

Étape 6

Ce qui équivaut à isoler $\sqrt{n}$ :

Étape 7

$$\sqrt{n} = \frac{15}{2{,}5} = 6$$

Étape 8

En élevant les deux membres au carré, on obtient :

Étape 9

$$n = 6^2 = 36$$

Étape 10

La taille de l'échantillon pour obtenir cet écart type est donc de $36$.