Exercice : Espérance et variance de sommes

Étape 1

Étape 1 : Espérance et variance de $X$. La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$. Elle se décompose en une somme $X = X_1 + X_2 + \dots + X_n$ de $n$ variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$. Par linéarité de l'espérance et par indépendance pour la variance, on a : $$E(X) = n p \quad \text{et} \quad V(X) = n p (1-p)$$

Étape 2

Étape 2 : Propriétés de la variable transformée $Y$. D'après les propriétés de l'espérance et de la variance pour une transformation affine $aX + b$ : $$E(Y) = E(2X - n) = 2 E(X) - n = 2np - n = n(2p - 1)$$ $$V(Y) = V(2X - n) = 2^2 V(X) = 4 n p (1-p)$$

Étape 3

Étape 3 : Formulation du système d'équations. D'après les données de l'énoncé, $E(Y) = 40$ et $V(Y) = 84$, d'où le système : $$n(2p - 1) = 40 \quad (1)$$ $$4np(1-p) = 84 \iff np(1-p) = 21 \quad (2)$$

Étape 4

Étape 4 : Expression de $p$ en fonction de $n$. De l'équation (1), on tire $2p - 1 = \frac{40}{n}$, ce qui donne : $$p = \frac{1}{2} + \frac{20}{n} = \frac{n + 40}{2n}$$ On en déduit la valeur de $1 - p$ : $$1 - p = 1 - \frac{n + 40}{2n} = \frac{n - 40}{2n}$$

Étape 5

Étape 5 : Injection dans la variance et résolution. En substituant ces expressions de $p$ et $1-p$ dans l'équation (2), on obtient : $$n \times \frac{n + 40}{2n} \times \frac{n - 40}{2n} = 21$$ $$\frac{(n + 40)(n - 40)}{4n} = 21$$ $$n^2 - 1600 = 84n \quad \text{ce qui équivaut à} \quad n^2 - 84n - 1600 = 0$$

Étape 6

Résolvons cette équation du second degré. Le discriminant vaut : $$\Delta = (-84)^2 - 4 \times 1 \times (-1600) = 7056 + 6400 = 13456$$ Comme $\sqrt{13456} = 116$, les solutions sont : $$n_1 = \frac{84 - 116}{2} = -16 \quad \text{et} \quad n_2 = \frac{84 + 116}{2} = 100$$ Un nombre d'épreuves $n$ étant un entier naturel strictement positif, la seule solution valide est $n = 100$.