Étape 1
Chaque variable $X_i$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = \frac{3}{8}$. Elle prend la valeur $1$ avec la probabilité $\frac{3}{8}$ et la valeur $0$ avec la probabilité $1 - p = \frac{5}{8}$.
Étape 2
On calcule l'espérance de $X_i$ et de $X_i^2$ :
$$E(X_i) = 1 \times \frac{3}{8} + 0 \times \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$$
$$E(X_i^2) = 1^2 \times \frac{3}{8} + 0^2 \times \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$$
Étape 3
D'après la formule de Koenig-Huygens, la variance de $X_i$ est :
$$V(X_i) = E(X_i^2) - (E(X_i))^2 = \frac{3}{8} - \left(\frac{3}{8}\right)^2 = \frac{3}{8} - \frac{9}{64} = \frac{15}{64}$$
Étape 4
Les variables $X_1, X_2, \dots, X_n$ étant indépendantes, la variance de leur somme $X = \sum_{i=1}^n X_i$ est la somme de leurs variances :
$$V(X) = V\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n V(X_i) = n \times \frac{15}{64} = \frac{15n}{64}$$
Étape 5
L'écart type de $X$ s'obtient en prenant la racine carrée de sa variance :
$$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{15n}{64}} = \frac{\sqrt{15n}}{8}$$
Étape 6
On cherche le plus petit entier naturel $n$ tel que $\sigma(X) \ge 15$, ce qui équivaut à :
$$\frac{\sqrt{15n}}{8} \ge 15$$
Ce qui équivaut à $\sqrt{15n} \ge 120$.
Étape 7
Les deux membres étant strictement positifs, on élève au carré :
$$15n \ge 120^2$$
$$15n \ge 14400$$
$$n \ge \frac{14400}{15} = 960$$
Étape 8
Le plus petit entier naturel $n_0$ recherché est donc $960$.
Méthode clé
Pour des variables aléatoires indépendantes, la variance de leur somme est la somme de leurs variances. Pour une loi de Bernoulli, $V(X_i) = p(1-p)$.
Piège à éviter
Confondre la variance $V(X) = np(1-p)$ et l'écart type $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$, ou oublier d'élever les deux membres au carré lors de la résolution de l'inéquation.
