Exercice : Espérance et variance de sommes

Étape 1

Étape 1 : Calcul de la variance de $X$
Calculons d'abord l'espérance $E(X)$ puis l'espérance du carré $E(X^2)$ de la variable aléatoire $X$ :$$E(X) = -1 \times 0{,}2 + 1 \times 0{,}5 + 3 \times 0{,}3 = -0{,}2 + 0{,}5 + 0{,}9 = 1{,}2$$$$E(X^2) = (-1)^2 \times 0{,}2 + 1^2 \times 0{,}5 + 3^2 \times 0{,}3 = 0{,}2 + 0{,}5 + 2{,}7 = 3{,}4$$D'après la formule de Koenig-Huygens, la variance de $X$ est :$$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 3{,}4 - (1{,}2)^2 = 3{,}4 - 1{,}44 = 1{,}96$$

Étape 2

Étape 2 : Variance de la somme $T_n$
Les variables aléatoires $X_1, X_2, \dots, X_n$ sont indépendantes et suivent la même loi que $X$. La variance de leur somme est égale à la somme de leurs variances :$$V(T_n) = V\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n V(X_i) = n \times V(X) = 1{,}96n$$

Étape 3

Étape 3 : Variance de la variable $Y$
En utilisant la propriété $V(aX + b) = a^2 V(X)$ pour toutes constantes réelles $a$ et $b$, on obtient :$$V(Y) = V(5 T_n - 7) = 5^2 \times V(T_n) = 25 \times 1{,}96n = 49n$$

Étape 4

Étape 4 : Détermination de $n$
On sait que $V(Y) = 245$. On résout donc l'équation :$$49n = 245$$Ce qui équivaut à :$$n = \frac{245}{49} = 5$$