Exercice : Espérance et variance de sommes

Étape 1

Le coût moyen par carte correspond à l'espérance mathématique de la variable aléatoire $C$, soit $E(C) = 7{,}70$.

Étape 2

D'après les propriétés de linéarité de l'espérance, pour toutes variables aléatoires $X$ et $Y$ et pour tous réels $a$, $b$ et $c$, on a : $$E(aX + bY + c) = a E(X) + b E(Y) + c$$

Étape 3

En appliquant cette propriété à la variable $C = aX + 12Y + 5$, on obtient : $$E(C) = a E(X) + 12 E(Y) + 5$$

Étape 4

En substituant les valeurs connues $E(X) = 0{,}15$, $E(Y) = 0{,}10$ et $E(C) = 7{,}70$ dans cette égalité, on pose l'équation : $$7{,}70 = a \times 0{,}15 + 12 \times 0{,}10 + 5$$

Étape 5

On simplifie l'expression : $$7{,}70 = 0{,}15 a + 1{,}20 + 5$$ $$7{,}70 = 0{,}15 a + 6{,}20$$

Étape 6

Ce qui équivaut à : $$0{,}15 a = 7{,}70 - 6{,}20$$ $$0{,}15 a = 1{,}50$$

Étape 7

On en déduit la valeur de $a$ : $$a = \frac{1{,}50}{0{,}15} = 10$$