Exercice : Espérance et variance de sommes

Étape 1

Calculons l'espérance et la variance de $X$ et de $Y$ à partir de leurs lois de probabilité.

Étape 2

Pour la variable aléatoire $X$ : $$E(X) = 0 \times 0{,}5 + 2 \times 0{,}5 = 1$$ $$E(X^2) = 0^2 \times 0{,}5 + 2^2 \times 0{,}5 = 2$$ La variance de $X$ vaut donc $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 2 - 1^2 = 1$.

Étape 3

Pour la variable aléatoire $Y$ : $$E(Y) = (-1) \times 0{,}75 + 3 \times 0{,}25 = -0{,}75 + 0{,}75 = 0$$ $$E(Y^2) = (-1)^2 \times 0{,}75 + 3^2 \times 0{,}25 = 0{,}75 + 2{,}25 = 3$$ La variance de $Y$ vaut donc $V(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2 = 3 - 0^2 = 3$.

Étape 4

Établissons la relation $E(XY) = E(X)E(Y)$ grâce à la relation d'indépendance fournie : $$E(XY) = \sum_{a \in \{0, 2\}} \sum_{b \in \{-1, 3\}} a b \cdot P((X=a) \cap (Y=b))$$ En utilisant $P((X=a) \cap (Y=b)) = P(X=a) \times P(Y=b)$, on peut factoriser la somme : $$E(XY) = \left(\sum_{a \in \{0, 2\}} a P(X=a)\right) \left(\sum_{b \in \{-1, 3\}} b P(Y=b)\right) = E(X) \times E(Y)$$ D'où $E(XY) = 1 \times 0 = 0$.

Étape 5

Déterminons l'expression de la variance de $Z = X + kY$ en fonction de $k$ : Par linéarité de l'espérance, $E(Z) = E(X) + k E(Y) = 1 + k \times 0 = 1$. De plus, $Z^2 = (X + kY)^2 = X^2 + 2k XY + k^2 Y^2$, donc : $$E(Z^2) = E(X^2) + 2k E(XY) + k^2 E(Y^2) = 2 + 2k(0) + 3k^2 = 2 + 3k^2$$ La variance s'écrit alors $V(Z) = E(Z^2) - (E(Z))^2 = (2 + 3k^2) - 1^2 = 1 + 3k^2$.

Étape 6

Résolvons l'équation $V(Z) = 13$ : $$1 + 3k^2 = 13$$ Ce qui équivaut à $3k^2 = 12$, d'où $k^2 = 4$. Comme le paramètre $k$ est strictement positif, la seule solution est $k = 2$.