Périmètres, aires et volumes
L'essentiel du cours (4 notions)
Périmètres de polygones et de cercles
Propriété : Le périmètre est la longueur du contour d'une figure. Pour un polygone, c'est la somme des longueurs des côtés. Pour un cercle de rayon $r$, $P = 2\pi r$.
Exemple : Cercle de rayon $r = 3\text{ cm}$ : $P = 2 \times \pi \times 3 = 6\pi \approx 18,85\text{ cm}$.
Aires : rectangle, triangle et disque
Propriété : • Rectangle : $A = L \times l$ • Triangle : $A = \frac{b \times h}{2}$ • Disque de rayon $r$ : $A = \pi r^2$
Exemple : Triangle de base $b = 6\text{ cm}$ et hauteur $h = 4\text{ cm}$ : $A = \frac{6 \times 4}{2} = 12\text{ cm}^2$.
Volumes des solides usuels
Propriété : • Pavé droit : $V = L \times l \times h$ • Prisme et cylindre : $V = B \times h$ • Pyramide et cône : $V = \frac{1}{3} B \times h$ • Boule de rayon $r$ : $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ (où $B$ désigne l'aire de la base).
Exemple : Cône de hauteur $h = 5\text{ cm}$ et de base $B = 12\text{ cm}^2$ : $V = \frac{1}{3} \times 12 \times 5 = 20\text{ cm}^3$.
Conversions d'unités usuelles
Propriété : • Volumes et contenances : $1\text{ L} = 1\text{ dm}^3 = 1000\text{ cm}^3$ • Vitesses : $1\text{ m/s} = 3,6\text{ km/h}$ • Durées : $1\text{ h} = 60\text{ min} = 3600\text{ s}$
Méthode : Pour passer des $\text{km/h}$ aux $\text{m/s}$, diviser la vitesse par $3,6$ (et multiplier par $3,6$ pour effectuer la conversion inverse).
Exemple : Convertir $90\text{ km/h}$ en $\text{m/s}$ : $90 \div 3,6 = 25\text{ m/s}$.
On considère la figure géométrique ci-contre, composée d'un rectangle $ABCD$ et d'un triangle $DEC$.
Les dimensions sont les suivantes : $AB = 8\text{ cm}$, $BC = 5\text{ cm}$, et la hauteur issue de $E$ dans le triangle $DEC$ mesure $3\text{ cm}$.
Saisir l'aire totale de la figure en $\text{cm}^2$.
La vitesse d'un train est notée $v$ et est exprimée en mètres par seconde ($\text{m/s}$). Sa vitesse exprimée en kilomètres par heure est égale à $126\text{ km/h}$.
En effectuant la conversion d'unités appropriée, retrouver la valeur de la vitesse $v$ en $\text{m/s}$.
Saisir la valeur de $v$.
On considère un cylindre de révolution de rayon $r = 3\text{ cm}$ et de hauteur $h = 5\text{ cm}$.
Calculer le volume de ce cylindre. On exprimera le résultat sous la forme $A\pi\text{ cm}^3$, où $A$ est un nombre entier.
Saisir la valeur de $A$.
La figure ci-dessous est composée d'un rectangle $ABCD$ et d'un triangle $DEC$.
On donne $AD = 7\text{ cm}$, la hauteur du triangle $DEC$ relative au côté $[DC]$ mesure $5\text{ cm}$, et $AB = x\text{ cm}$.
L'aire totale de la figure $ABCDE$ est égale à $133\text{ cm}^2$.
Saisir la valeur de $x$.
On considère une pyramide régulière $SABCD$ de sommet $S$, dont la base est le carré $ABCD$ de centre $O$.
Le côté du carré $ABCD$ mesure $6\text{ cm}$. Soit $M$ le milieu du segment $[AB]$. La longueur du segment $[SM]$ est égale à $5\text{ cm}$.
Calculer le volume de cette pyramide.
Saisir la valeur du volume en cm³.
Un robinet déverse de l'eau à un débit constant de $15\text{ L/min}$.
Déterminer la valeur de ce débit exprimé en $\text{m}^3/\text{h}$.
Saisir la valeur numérique du débit en $\text{m}^3/\text{h}$.
Une figure plane est composée de trois côtés d'un rectangle de dimensions $x$ mètres et $8\text{ m}$, ainsi que d'un demi-cercle de diamètre $8\text{ m}$.
Le périmètre total de cette figure est égal à $34 + 4\pi\text{ m}$.
Saisir la valeur de $x$.
Propriété admise : Dans un triangle $XYZ$, l'aire $\mathcal{A}$ s'exprime par la formule :
$$\mathcal{A} = \frac{1}{2} \times XY \times XZ \times \sin(\widehat{YXZ})$$On donne la valeur : $\sin(30^\circ) = 0{,}5$.
Soit un triangle $ABC$ tel que $AB = 20\text{ cm}$, $AC = 24\text{ cm}$ et $\widehat{BAC} = 30^\circ$.
Un point $D$ appartient au segment $[AB]$ tel que $AD = 8\text{ cm}$, et un point $E$ appartient au segment $[AC]$.
On cherche la position du point $E$ telle que l'aire du quadrilatère $BCED$ soit égale au quintuple (5 fois) de l'aire du triangle $ADE$.
Saisir la longueur $AE$ (en cm).