Exercice : Périmètres, aires et volumes

Étape 1

Calculons l'aire du triangle $ABC$ à l'aide de la formule admise :

Étape 2

$$\mathcal{A}_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(\widehat{BAC})$$

Étape 3

En remplaçant par les valeurs données :

Étape 4

$$\mathcal{A}_{ABC} = \frac{1}{2} \times 20 \times 24 \times 0{,}5 = 120\text{ cm}^2$$

Étape 5

Exprimons l'aire totale du triangle $ABC$ comme la somme des aires du triangle $ADE$ et du quadrilatère $BCED$ :

Étape 6

$$\mathcal{A}_{ABC} = \mathcal{A}_{ADE} + \mathcal{A}_{BCED}$$

Étape 7

On sait que l'aire de $BCED$ vaut 5 fois celle de $ADE$, soit $\mathcal{A}_{BCED} = 5 \times \mathcal{A}_{ADE}$. D'où :

Étape 8

$$\mathcal{A}_{ABC} = \mathcal{A}_{ADE} + 5 \times \mathcal{A}_{ADE} = 6 \times \mathcal{A}_{ADE}$$

Étape 9

Ce qui équivaut à :

Étape 10

$$6 \times \mathcal{A}_{ADE} = 120$$

Étape 11

On en déduit que l'aire du triangle $ADE$ est de $20\text{ cm}^2$.

Étape 12

Exprimons désormais l'aire du triangle $ADE$ à l'aide de la même formule d'aire :

Étape 13

$$\mathcal{A}_{ADE} = \frac{1}{2} \times AD \times AE \times \sin(\widehat{DAE})$$

Étape 14

Puisque le point $D$ appartient à $[AB]$ et $E$ à $[AC]$, l'angle $\widehat{DAE}$ est égal à l'angle $\widehat{BAC} = 30^\circ$. On obtient :

Étape 15

$$20 = \frac{1}{2} \times 8 \times AE \times 0{,}5$$

Étape 16

$$20 = 2 \times AE$$

Étape 17

D'où $AE = 10\text{ cm}$.