Étape 1
Dans la base carrée $ABCD$ de centre $O$, le point $M$ est le milieu du segment $[AB]$. Le segment $[OM]$ est perpendiculaire à $[AB]$ et sa longueur est égale à la moitié du côté du carré : $$OM = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3\text{ cm}$$
Étape 2
La pyramide $SABCD$ étant régulière, la droite $(SO)$ est la hauteur de la pyramide. Elle est donc perpendiculaire au plan de la base $(ABCD)$. Le triangle $SOM$ est ainsi rectangle en $O$.
Étape 3
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle $SOM$ rectangle en $O$ : $$SM^2 = SO^2 + OM^2$$ $$5^2 = SO^2 + 3^2$$ $$25 = SO^2 + 9$$ $$SO^2 = 25 - 9 = 16$$ D'où $SO = \sqrt{16} = 4\text{ cm}$.
Étape 4
L'aire de la base carrée $ABCD$ est égale à : $$\mathcal{A} = 6^2 = 36\text{ cm}^2$$
Étape 5
On calcule enfin le volume $V$ de la pyramide : $$V = \frac{1}{3} \times \mathcal{A} \times SO$$ $$V = \frac{1}{3} \times 36 \times 4 = 12 \times 4 = 48\text{ cm}^3$$
Méthode clé
Lorsque la hauteur d'une pyramide n'est pas donnée, on la calcule en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par le sommet, le centre de la base et le milieu d'un côté.
Piège à éviter
Ne pas confondre la hauteur de la pyramide ($SO$) avec la hauteur d'une face latérale ($SM$), et penser à diviser par 3 pour le volume.
