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8 ex.

Difficulté :
L'essentiel du cours (3 notions)

Alignement de trois points

Propriété : Trois points distincts $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires, soit lorsque leur déterminant $x_{\vec{AB}} y_{\vec{AC}} - y_{\vec{AB}} x_{\vec{AC}} = 0$.

Méthode : 1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}(x;y)$ et $\vec{AC}(x';y')$. 2. Calculer le déterminant $x y' - x' y$. Si la valeur est nulle, les trois points sont alignés.

Exemple : $A(0;1)$, $B(1;3)$, $C(3;7)$. $\vec{AB}(1;2)$ et $\vec{AC}(3;6)$. $1 \times 6 - 2 \times 3 = 0$, donc $A, B$ et $C$ sont alignés.

Position relative de deux droites

Propriété : Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente ($m = m'$) ou si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires ($ab' - a'b = 0$). Dans le cas contraire, elles sont sécantes.

Méthode : 1. Identifier les pentes $m, m'$ ou les vecteurs directeurs $\vec{u}, \vec{v}$. 2. Comparer les pentes ou tester le déterminant des vecteurs directeurs.

Exemple : $d_1 : y = 3x - 1$ et $d_2 : y = 2x + 4$. Comme $m_1 = 3 \neq m_2 = 2$, les droites $d_1$ et $d_2$ sont sécantes.

Intersection de deux droites sécantes

Méthode : Pour deux droites sécantes données par leurs équations réduites $y = m_1 x + p_1$ et $y = m_2 x + p_2$ : 1. Poser l'égalité $m_1 x + p_1 = m_2 x + p_2$. 2. Résoudre l'équation pour obtenir l'abscisse $x$. 3. Remplacer $x$ dans l'une des équations pour trouver l'ordonnée $y$.

Exemple : $d_1 : y = 2x + 1$ et $d_2 : y = -x + 4$. $2x + 1 = -x + 4 \implies 3x = 3 \implies x = 1$. $y = 2(1) + 1 = 3$. Le point d'intersection est $I(1; 3)$.

★ Standard

On considère deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ définies dans un repère du plan par leurs équations réduites :

  • $(d_1) : y = 3x - 1$
  • $(d_2) : y = -2x + 9$

Déterminer l'abscisse du point d'intersection des droites $(d_1)$ et $(d_2)$.
★ Standard

Dans le plan muni d'un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$, on considère les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ d'équations cartésiennes :

  • $(d_1) : 2x - y - 2 = 0$
  • $(d_2) : x + y - 7 = 0$

En vérifiant d'abord que ces deux droites sont sécantes à l'aide de leurs vecteurs directeurs, déterminer l'abscisse $x$ de leur point d'intersection.

Saisir l'abscisse du point d'intersection des deux droites.
★ Standard

On considère la fonction Python suivante, conçue pour évaluer une condition d'alignement de trois points $A$, $B$ et $C$ dans un repère :

def indicateur_alignement(xA, yA, xB, yB, xC, yC):
    d = (xB - xA) * (yC - yA) - (yB - yA) * (xC - xA)
    return d

On exécute cette fonction avec les coordonnées des points $A(1, 3)$, $B(4, 9)$ et $C(7, 18)$.

Déterminer la valeur numérique renvoyée par l'appel indicateur_alignement(1, 3, 4, 9, 7, 18).
★★ Avancé

Dans le plan muni d'un repère, on considère les points $A(-1\,;\,2)$, $B(3\,;\,10)$ et $C(x\,;\,-4)$, où $x$ est un nombre réel.

Déterminer la valeur du nombre $x$ pour laquelle le point $C$ appartient à la droite $(AB)$.
★★ Avancé

On considère la fonction Python suivante :

def alignes(xA, yA, xB, yB, xC, yC):
    valeur = (yB - yA) * (xC - xA) - (yC - yA) * (xB - xA)
    if valeur == 0:
        return True
    else:
        return False

On exécute l'instruction alignes(-1, 2, 3, 10, k, 26) où $k$ est un nombre réel. L'exécution de cette fonction renvoie le résultat True.

Saisir la valeur du nombre $k$.
★★ Avancé

Dans un repère du plan, on considère les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ d'équations réduites respectives :

$$y = 3{,}5x - 9 \quad \text{et} \quad y = -1{,}5x + 11$$

Déterminer l'ordonnée du point d'intersection des droites $(d_1)$ et $(d_2)$.

Saisir l'ordonnée du point d'intersection des deux droites.
★★ Avancé

Dans un repère du plan, on considère la droite $(d_1)$ passant par les points $A(-2\,; 3)$ et $B(4\,; -1)$.

La droite $(d_2)$ a pour équation $5x + ky + 12 = 0$, où $k$ est un nombre réel non nul.

Déterminer la valeur du réel $k$ pour laquelle les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles.

Saisir la valeur de $k$.
★★★ Challenge

On considère le programme Python suivant, conçu pour étudier la disposition relative de trois points $A$, $B$ et $C$ dans le plan muni d'un repère :

def teste_alignement(k):
    xA, yA = -1, -2
    xB, yB = 2, 7
    xC = k
    yC = k**2 - 11*k + 50

    det = (xB - xA)*(yC - yA) - (yB - yA)*(xC - xA)
    return det == 0

Par une étude théorique complète, déterminer la valeur réelle unique de $k$ pour laquelle la fonction teste_alignement(k) renvoie True.

Saisir la valeur de $k$.