Étape 1
Pour déterminer la valeur de $k$ rendant les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ parallèles, on étudie la colinéarité de leurs vecteurs directeurs.
Étape 2
Étape 1 : Recherche d'un vecteur directeur de la droite $(d_1)$
Étape 3
La droite $(d_1)$ passe par les points $A(-2\,; 3)$ et $B(4\,; -1)$. Un vecteur directeur de $(d_1)$ est le vecteur $\vec{AB}$ :
Étape 4
$$\vec{u}_1 = \vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 - (-2) \\ -1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}$$
Étape 5
Étape 2 : Recherche d'un vecteur directeur de la droite $(d_2)$
Étape 6
La droite $(d_2)$ est donnée par l'équation $5x + ky + 12 = 0$. D'après le cours, une droite d'équation $ax + by + c = 0$ admet pour vecteur directeur $\vec{u} = \begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix}$.
Étape 7
Un vecteur directeur de $(d_2)$ est donc :
Étape 8
$$\vec{u}_2 = \begin{pmatrix} -k \\ 5 \end{pmatrix}$$
Étape 9
Étape 3 : Application de la condition de parallélisme
Étape 10
Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\vec{u}_1$ et $\vec{u}_2$ sont colinéaires, ce qui équivaut à :
Étape 11
$$\det(\vec{u}_1, \vec{u}_2) = 0$$
Étape 12
On calcule ce déterminant :
Étape 13
$$6 \times 5 - (-4) \times (-k) = 0$$
Étape 14
$$30 - 4k = 0$$
Étape 15
On résout cette équation en $k$ :
Étape 16
$$4k = 30$$
Étape 17
$$k = \frac{30}{4} = 7{,}5$$
Étape 18
Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont donc parallèles pour $k = 7{,}5$.
Méthode clé
Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, c'est-à-dire si le déterminant de ces deux vecteurs est nul.
Piège à éviter
Attention aux signes dans la formule du vecteur directeur : pour une droite d'équation $ax + by + c = 0$, un vecteur directeur est $(-b\,; a)$ et non $(a\,; b)$.
