Exercice : Intersections, parallélisme et alignement

Étape 1

Déterminons d'abord si les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont sécantes. Une équation cartésienne de $(d_1)$ est $2x - y - 2 = 0$. Un vecteur directeur de $(d_1)$ est $\vec{u}(1 ; 2)$.

Étape 2

Une équation cartésienne de $(d_2)$ est $x + y - 7 = 0$. Un vecteur directeur de $(d_2)$ est $\vec{v}(-1 ; 1)$.

Étape 3

Calculons le déterminant des deux vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : $$\det(\vec{u}, \vec{v}) = 1 \times 1 - (-1) \times 2 = 1 + 2 = 3$$ Comme ce déterminant n'est pas nul, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont donc sécantes.

Étape 4

Pour calculer l'abscisse de leur point d'intersection, isolons $y$ dans l'équation de $(d_1)$ : $$y = 2x - 2$$

Étape 5

Substituons cette expression de $y$ dans l'équation de $(d_2)$ : $$x + (2x - 2) - 7 = 0$$ $$3x - 9 = 0$$ $$3x = 9$$ $$x = 3$$ L'abscisse du point d'intersection des deux droites est égale à $3$.