Étape 1
Le point $C$ appartient à la droite $(AB)$ si et seulement si les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés, ce qui équivaut à la colinéarité des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
Étape 2
Déterminons les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :
Étape 3
$$\vec{AB}\begin{pmatrix} 3 - (-1) \\ 10 - 2 \end{pmatrix} = \vec{AB}\begin{pmatrix} 4 \\ 8 \end{pmatrix}$$
Étape 4
$$\vec{AC}\begin{pmatrix} x - (-1) \\ -4 - 2 \end{pmatrix} = \vec{AC}\begin{pmatrix} x + 1 \\ -6 \end{pmatrix}$$
Étape 5
Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul, soit :
Étape 6
$$4 \times (-6) - 8 \times (x + 1) = 0$$
Étape 7
Développons et résolvons cette équation :
Étape 8
$$-24 - 8x - 8 = 0$$
Étape 9
$$-32 - 8x = 0$$
Étape 10
Ce qui équivaut à $8x = -32$, d'où $x = \frac{-32}{8} = -4$.
Étape 11
La valeur de $x$ pour laquelle le point $C$ appartient à la droite $(AB)$ est donc $-4$.
Méthode clé
Trois points distincts $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires, c'est-à-dire si $x_{\vec{AB}} \cdot y_{\vec{AC}} - y_{\vec{AB}} \cdot x_{\vec{AC}} = 0$.
Piège à éviter
Attention aux erreurs de signes lors du calcul des coordonnées du vecteur $\vec{AC} = (x_C - x_A\,;\,y_C - y_A)$, en particulier avec $x - (-1) = x + 1$.
