Exercice : Intersections, parallélisme et alignement

Étape 1

La fonction teste_alignement(k) calcule la quantité $$\text{det} = (x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)$$ et renvoie True si et seulement si $\text{det} = 0$, ce qui correspond à la condition de colinéarité des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, et donc à l'alignement des points $A$, $B$ et $C$.

Étape 2

Exprimons les différences de coordonnées à partir des données du programme : $$x_B - x_A = 2 - (-1) = 3$$ $$y_B - y_A = 7 - (-2) = 9$$ $$x_C - x_A = k - (-1) = k + 1$$ $$y_C - y_A = (k^2 - 11k + 50) - (-2) = k^2 - 11k + 52$$

Étape 3

Substituons ces expressions dans le calcul de la variable $\text{det}$ : $$\text{det} = 3(k^2 - 11k + 52) - 9(k + 1)$$ En développant et en réduisant l'expression, on obtient : $$\text{det} = 3k^2 - 33k + 156 - 9k - 9 = 3k^2 - 42k + 147$$

Étape 4

Factorisons l'expression par $3$ : $$\text{det} = 3(k^2 - 14k + 49)$$ On reconnaît l'identité remarquable $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ avec $a = k$ et $b = 7$ : $$\text{det} = 3(k - 7)^2$$

Étape 5

La fonction renvoie True si et seulement si $\text{det} = 0$, ce qui équivaut à : $$3(k - 7)^2 = 0$$ Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, ce qui donne $(k - 7)^2 = 0$, d'où $k - 7 = 0$, c'est-à-dire $k = 7$.

Étape 6

La valeur réelle unique recherchée est donc $7$.