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7 ex.

Difficulté :
L'essentiel du cours (3 notions)

Courbes des fonctions de référence

Définition : • Carré : $f(x) = x^2$ (parabole). • Inverse : $f(x) = \frac{1}{x}$ pour $x \neq 0$ (hyperbole). • Valeur absolue : $f(x) = |x|$ (courbe en V).

Propriété : La parabole ($y = x^2$) et la courbe en V ($y = |x|$) sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. L'hyperbole ($y = \frac{1}{x}$) est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Propriétés : $x^2$ et $|x|$

Propriété : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $x^2 \ge 0$ et $|x| \ge 0$. Les fonctions carré et valeur absolue sont strictement décroissantes sur $]-\infty ; 0]$ et strictement croissantes sur $[0 ; +\infty[$.

Exemple : Si $-3 \le x \le -1$, alors $1 \le x^2 \le 9$ et $1 \le |x| \le 3$ (l'ordre des inégalités est inversé car ces fonctions sont strictement décroissantes sur $]-\infty ; 0]$).

Position relative : $y=x$ et $y=x^2$

Propriété : Sur $[0 ; 1]$, $x^2 \le x$ (la parabole est sous la droite). Sur $[1 ; +\infty[$, $x^2 \ge x$ (la parabole est au-dessus de la droite).

Méthode : On étudie le signe de la différence $x^2 - x = x(x - 1)$ sur $[0 ; +\infty[$ : le facteur $(x - 1)$ s'annule en $1$ et change de signe.

Exemple : Pour $x = 0{,}5 \in [0 ; 1]$, $0{,}5^2 = 0{,}25 \le 0{,}5$. Pour $x = 2 \in [1 ; +\infty[$, $2^2 = 4 \ge 2$.

★ Standard

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-6 ; -2]$ par $f(x) = x^2$.

À l'aide des variations de la fonction carré :

  1. Préciser le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-6 ; -2]$.
  2. En déduire la valeur maximale atteinte par la fonction $f$ sur cet intervalle.

Saisir la valeur maximale de $f$ sur $[-6 ; -2]$.
★ Standard

Dans le repère ci-dessous sont tracées trois courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ correspondant aux trois fonctions de référence définies sur $]0 ; +\infty[$ : la fonction carré $x \mapsto x^2$, la fonction valeur absolue $x \mapsto |x|$ et la fonction inverse $x \mapsto \frac{1}{x}$.

1. Identifier la courbe $\mathcal{C}_3$ associée à la fonction inverse.

2. Un point $A(k ; 0{,}25)$ appartient à cette courbe $\mathcal{C}_3$, où $k$ est un réel strictement positif.

En utilisant la définition algébrique de la fonction inverse, déterminer la valeur de $k$.

Saisir la valeur de $k$.
★ Standard

On considère la fonction carré $f(x) = x^2$ et la fonction identité $g(x) = x$, définies sur $[0 ;\,+\infty[$. On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ et $\mathcal{D}$ la droite représentative de $g$.

L'ensemble des réels strictement positifs pour lesquels la courbe $\mathcal{C}_f$ est strictement en dessous de la droite $\mathcal{D}$ est un intervalle de la forme $]0\,;\,a[$.

En étudiant le signe de la différence $f(x) - g(x)$, déterminer la valeur de l'entier $a$.

Saisir la valeur de l'entier $a$.
★★ Avancé

On considère la courbe d'équation $y = x^2$ et la droite d'équation $y = x$, définies pour tout réel $x \ge 0$.

Par une étude algébrique de la position relative de ces deux tracés, déterminer le milieu de l'intervalle des réels $x \ge 0$ pour lesquels la courbe d'équation $y = x^2$ est située en dessous ou confondue avec la droite d'équation $y = x$.

Saisir la valeur numérique de ce milieu sous forme décimale.
★★ Avancé

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-5 ; 2]$ par $f(x) = 18 - 2(x + 1)^2$.

Déterminer le minimum de la fonction $f$ sur cet intervalle.

Saisir la valeur du minimum de $f$.
★★ Avancé

Dans le repère ci-contre, on a représenté les courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ de trois fonctions $f$, $g$ et $h$.

Ces trois fonctions sont, dans un ordre indéterminé, définies par :

  • $x \mapsto |x|$
  • $x \mapsto \frac{1}{x}$
  • $x \mapsto x^2$

On sait que :

  • $f$ est la fonction représentée par $\mathcal{C}_1$ ;
  • $g$ est la fonction représentée par $\mathcal{C}_2$ ;
  • $h$ est la fonction représentée par $\mathcal{C}_3$.

Calculer $S = f(-3) + g(5) + h(2)$.

Saisir la valeur de $S$ sous la forme d'une fraction irréductible.
★★ Avancé

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-2 ; 5]$ par :

$$f(x) = (x - 4)^2 + k$$

où $k$ est un nombre réel fixe.

On sait que la valeur maximale atteinte par la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2 ; 5]$ est égale à $43$.

Saisir la valeur du réel $k$.