Exercice : Fonctions carré, inverse, racine et cube

Étape 1

Pour étudier la position relative de la courbe d'équation $y = x^2$ et de la droite d'équation $y = x$ sur $[0 ; +\infty[$, on étudie le signe de la différence $x^2 - x$.

Étape 2

Pour tout réel $x \ge 0$, on factorise l'expression par $x$ : $$x^2 - x = x(x - 1)$$

Étape 3

On étudie le signe de chaque facteur sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ : - Pour tout $x \ge 0$, le facteur $x$ est positif ou nul. - Le facteur $x - 1$ s'annule pour $x = 1$. Il est strictement négatif sur $[0 ; 1[$ et strictement positif sur $]1 ; +\infty[$.

Étape 4

On dresse le tableau de signes de l'expression $x(x - 1)$ sur $[0 ; +\infty[$ : $$\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & & 1 & & +\infty \\ \hline x & 0 & + & | & + & \\ x-1 & & - & 0 & + & \\ \hline x(x-1) & 0 & - & 0 & + & \end{array}$$

Étape 5

La courbe d'équation $y = x^2$ est située en dessous ou confondue avec la droite d'équation $y = x$ lorsque $x^2 - x \le 0$, c'est-à-dire pour $x \in [0 ; 1]$.

Étape 6

L'intervalle obtenu est $[0 ; 1]$. On calcule son milieu : $$\frac{0 + 1}{2} = 0{,}5$$