Étape 1
Soit $x$ un réel appartenant à l'intervalle $[-5 ; 2]$. On a l'encadrement : $$-5 \le x \le 2$$ En ajoutant $1$ à chaque membre : $$-4 \le x + 1 \le 3$$
Étape 2
On étudie l'encadrement de $(x + 1)^2$ en utilisant les variations de la fonction carré $X \mapsto X^2$, qui est strictement décroissante sur $]-\infty ; 0]$ et strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$ :
Étape 3
Si $-4 \le x + 1 \le 0$, par décroissance de la fonction carré sur $[-4 ; 0]$ : $$0 \le (x + 1)^2 \le (-4)^2 = 16$$
Étape 4
Si $0 \le x + 1 \le 3$, par croissance de la fonction carré sur $[0 ; 3]$ : $$0 \le (x + 1)^2 \le 3^2 = 9$$
Étape 5
En réunissant ces deux cas, on obtient pour tout $x \in [-5 ; 2]$ : $$0 \le (x + 1)^2 \le 16$$
Étape 6
On multiplie chaque membre par $-2$. Comme $-2 < 0$, le sens des inégalités est inversé : $$-32 \le -2(x + 1)^2 \le 0$$
Étape 7
On ajoute $18$ à chaque membre : $$-14 \le 18 - 2(x + 1)^2 \le 18$$ soit $$-14 \le f(x) \le 18$$
Étape 8
De plus, pour $x = -5$, qui appartient bien à l'intervalle $[-5 ; 2]$, on calcule : $$f(-5) = 18 - 2(-5 + 1)^2 = 18 - 2 \times 16 = -14$$
Étape 9
La valeur $-14$ est atteinte par la fonction $f$. Ainsi, le minimum de $f$ sur $[-5 ; 2]$ est $-14$.
Méthode clé
Pour encadrer $X^2$ quand $X$ varie entre une valeur négative et une valeur positive, séparer l'intervalle au niveau de $0$ pour utiliser la décroissance sur les négatifs et la croissance sur les positifs.
Piège à éviter
Penser que le minimum de $(x+1)^2$ s'obtient aux bornes de l'intervalle, en oubliant qu'un carré est toujours supérieur ou égal à $0$.
