Exercice : Fonctions carré, inverse, racine et cube

Étape 1

On souhaite étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la droite $\mathcal{D}$ sur $[0\,;\,+\infty[$. Pour cela, on détermine le signe de la différence $d(x) = f(x) - g(x) = x^2 - x$.

Étape 2

En factorisant par $x$, on obtient : $$x^2 - x = x(x - 1)$$

Étape 3

Étudions le signe de cette différence pour $x \in ]0\,;\,1[$ :

Étape 4

Comme $x \in ]0\,;\,1[$, on a $x > 0$. De plus, $x < 1$ implique que $x - 1 < 0$.

Étape 5

Par règle des signes d'un produit, le produit $x(x - 1)$ de deux facteurs de signes contraires est strictement négatif sur $]0\,;\,1[$.

Étape 6

On en déduit que pour tout $x \in ]0\,;\,1[$ : $$x^2 - x < 0 \quad \text{ce qui équivaut à} \quad x^2 < x$$

Étape 7

Ainsi, la courbe $\mathcal{C}_f$ est strictement en dessous de la droite $\mathcal{D}$ sur l'intervalle $]0\,;\,1[$. La borne recherchée $a$ est donc égale à $1$.