Étape 1
Pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[-2 ; 5]$, le nombre $x - 4$ appartient à l'intervalle $[-2 - 4 ; 5 - 4]$, c'est-à-dire $[-6 ; 1]$.
Étape 2
La fonction carré $u \mapsto u^2$ est strictement décroissante sur $]-\infty ; 0]$ et strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$.
Étape 3
On en déduit le comportement de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2 ; 5]$ :
Étape 4
Sur l'intervalle $[-2 ; 4]$, le nombre $x - 4$ varie de $-6$ à $0$. La fonction $f$ est donc strictement décroissante, passant de $f(-2) = (-6)^2 + k = 36 + k$ à $f(4) = 0^2 + k = k$.
Étape 5
Sur l'intervalle $[4 ; 5]$, le nombre $x - 4$ varie de $0$ à $1$. La fonction $f$ est donc strictement croissante, passant de $f(4) = k$ à $f(5) = 1^2 + k = 1 + k$.
Étape 6
Le maximum global de la fonction $f$ sur $[-2 ; 5]$ est le plus grand des deux nombres $f(-2)$ et $f(5)$. Comme $36 + k > 1 + k$, la valeur maximale de $f$ sur cet intervalle est $36 + k$.
Étape 7
L'énoncé précise que cette valeur maximale est égale à $43$. On pose donc l'équation :
Étape 8
$$36 + k = 43$$
Étape 9
En soustrayant $36$ aux deux membres de l'égalité, on obtient $k = 43 - 36 = 7$.
Méthode clé
Pour trouver le maximum d'une expression du type $(x - a)^2 + k$ sur un intervalle, on cherche la valeur de $x$ qui éloigne le plus $x$ de $a$.
Piège à éviter
Confondre l'abscisse du minimum de la fonction ($x = 4$) avec la valeur de $x$ qui donne le maximum de la fonction sur l'intervalle.
