Loi de probabilité, espérance et variance
L'essentiel du cours (2 notions)
Espérance, variance et écart type
Formule : $E(X) = \sum x_i p_i$, $V(X) = \sum (x_i - E(X))^2 p_i$, $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
Méthode : 1. Dresser le tableau de la loi de probabilité de $X$. 2. Calculer la moyenne théorique $E(X)$. 3. Calculer la variance $V(X)$, puis $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.
Exemple : Si $P(X=10)=0,2$ et $P(X=0)=0,8$ : $E(X)=2$ et $V(X)=(10-2)^2 \times 0,2 + (0-2)^2 \times 0,8 = 16$.
Équité d'un jeu et espérance
Définition : Le gain net d'un joueur est modélisé par une variable aléatoire $X$. Un jeu est dit équitable si $E(X) = 0$, et favorable si $E(X) > 0$.
Méthode : 1. Exprimer le gain net $X$ en fonction de la mise $m$. 2. Calculer $E(X)$ en fonction de $m$. 3. Résoudre l'équation $E(X) = 0$.
Exemple : Un jeu rapportant $10$ € avec probabilité $0,3$ donne $E(X) = 3 - m$. L'équité implique une mise $m = 3$ €.
Un sac contient $10$ jetons identiques au toucher : $5$ jetons rouges, $3$ jetons verts et $2$ jetons jaunes.
Un joueur tire un jeton au hasard dans le sac :
- Si le jeton est rouge, le joueur perd $2$ €.
- Si le jeton est vert, le joueur gagne $1$ €.
- Si le jeton est jaune, le joueur gagne $5$ €.
On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur en euros.
Déterminer l'espérance mathématique de $X$, notée $E(X)$, sous forme d'un nombre décimal.
Soit $X$ une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau ci-dessous, où $k$ est un nombre réel :
$$\begin{array}{c|ccc}x_i & -2 & 1 & k \\ \hline P(X = x_i) & 0{,}2 & 0{,}5 & 0{,}3\end{array}$$On sait que l'espérance de la variable aléatoire $X$ est égale à $2{,}2$.
1. Exprimer l'espérance $E(X)$ en fonction de $k$.
2. En déduire la valeur du nombre $k$.
Saisir la valeur du nombre $k$.
Un jeu de foire consiste à faire tourner une roue équilibrée divisée en 10 secteurs égaux :
- 5 secteurs rapportent $0$ € ;
- 3 secteurs rapportent $4$ € ;
- 2 secteurs rapportent $10$ €.
On note $G$ la variable aléatoire représentant le gain brut du joueur (la somme remportée sans déduire la mise). Pour jouer une partie, le joueur doit payer une mise égale à $m$ euros.
En calculant d'abord l'espérance du gain brut $E(G)$, déterminer la valeur de la mise $m$ pour que ce jeu soit équitable.
Saisir la valeur de la mise $m$.
Un jeu de kermesse propose le fonctionnement suivant : pour jouer une partie, un joueur doit payer une mise de $3$ €.
Il tire ensuite une bille au hasard dans un sac opaque contenant $8$ billes identiques au toucher :
- $1$ bille rouge qui permet de recevoir $15$ € ;
- $3$ billes vertes qui permettent de recevoir $5$ € chacune ;
- $4$ billes jaunes qui ne rapportent rien ($0$ €).
On définit le gain algébrique d'un joueur comme la différence entre la somme reçue et la mise payée.
Déterminer le gain algébrique moyen d'un joueur par partie, exprimé sous forme décimale.
Un jeu de hasard consiste à tirer une carte. On note $X$ la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur, en euros.
La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant :
$${\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x_i & -2 & 0 & 3 & 5 \\ \hline P(X = x_i) & 0{,}15 & 0{,}35 & 0{,}30 & 0{,}20 \\ \hline \end{array}}$$Déterminer la probabilité que le gain du joueur soit d'au plus $3$ euros.
Saisir la valeur de la probabilité sous forme décimale.
Une entreprise de transport analyse le retard, exprimé en minutes, de ses navettes automatisées. On note $X$ la variable aléatoire représentant le retard constaté sur un trajet choisi au hasard.
Les seules valeurs de retard possibles sont $0$, $5$, $10$ et $15$ minutes.
On dispose des informations suivantes :
- La probabilité que le retard soit nul est $P(X = 0) = 0{,}4$.
- Un retard de $5$ minutes et un retard de $15$ minutes ont la même probabilité d'apparaître, notée $p$.
- La probabilité que le retard soit d'au moins $10$ minutes est égale à $0{,}35$.
Un trajet est qualifié de « fluide » si son retard ne dépasse pas $8$ minutes.
Déterminer la probabilité qu'un trajet choisi au hasard soit fluide.
Un jeu d'argent attribue un gain algébrique $X$ (en euros) à chaque partie. La répartition des probabilités est donnée dans le tableau ci-dessous, où $m$ désigne une valeur de gain inconnue et $p$ la probabilité associée :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x_i & -10 & 5 & m \\ \hline P(X = x_i) & 0{,}2 & 0{,}5 & p \\ \hline \end{array}$$En moyenne, sur un grand nombre de parties, le gain d'un joueur s'élève à $3{,}5\text{ €}$ par partie.
Saisir la valeur de $m$.
Une urne contient $10$ jetons identiques au toucher : $2$ rouges, $3$ bleus et $5$ verts.
Un jeu consiste à tirer successivement et sans remise $2$ jetons de cette urne.
- Si les deux jetons sont de la même couleur, le joueur gagne $10\text{ €}$.
- Si les deux jetons sont de couleurs différentes, le joueur gagne $1\text{ €}$.
On note $X$ la variable aléatoire égale au gain du joueur en euros.
Saisir la valeur de l'espérance $E(X)$.
Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher : $3$ rouges, $4$ vertes et $3$ bleues.
Un joueur paye une mise de $m$ euros pour effectuer un unique tirage au hasard d'une boule dans cette urne :
- S'il tire une boule rouge, il reçoit $15$ euros ;
- S'il tire une boule verte, il reçoit $5$ euros ;
- S'il tire une boule bleue, il ne reçoit rien.
On cherche à déterminer la valeur de la mise $m$, en euros, pour que ce jeu soit équitable, c'est-à-dire pour que le gain algébrique moyen par partie soit nul.
Saisir la valeur de $m$.
Une urne contient $8$ jetons indiscerneables au toucher : $4$ rouges, $3$ bleus et $1$ noir. Un joueur tire simultanément $2$ jetons de cette urne.
Les règles du jeu sont les suivantes :
- Si le jeton noir fait partie des jetons tirés, le joueur reçoit $22$ €.
- Sinon, si les deux jetons tirés sont de la même couleur, le joueur reçoit $14$ €.
- Dans tous les autres cas, le joueur ne reçoit rien.
Pour participer à ce jeu, le joueur doit payer une mise initiale de $m$ euros. On suppose que le jeu est équitable.
Déterminer la valeur numérique de la mise $m$ (en euros).