Exercice : Loi de probabilité, espérance et variance

Étape 1

Pour déterminer la valeur de $m$, il convient d'abord de déterminer la probabilité $p$ manquante.

Étape 2

La somme des probabilités associées à l'ensemble des issues d'une variable aléatoire est égale à $1$. On a donc : $$0{,}2 + 0{,}5 + p = 1$$ Ce qui donne : $$0{,}7 + p = 1 \quad \text{d'où} \quad p = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$$

Étape 3

Le gain moyen par partie correspond à l'espérance mathématique $E(X)$ de la variable aléatoire $X$, donnée par l'égalité $E(X) = 3{,}5$.

Étape 4

En appliquant la formule de l'espérance : $$E(X) = (-10) \times 0{,}2 + 5 \times 0{,}5 + m \times p$$

Étape 5

En remplaçant $p$ par $0{,}3$ et $E(X)$ par $3{,}5$, on obtient l'équation : $$-2 + 2{,}5 + 0{,}3m = 3{,}5$$ $$0{,}5 + 0{,}3m = 3{,}5$$

Étape 6

En isolant le terme en $m$ : $$0{,}3m = 3{,}5 - 0{,}5$$ $$0{,}3m = 3$$ $$m = \frac{3}{0{,}3} = 10$$

Étape 7

La valeur du gain $m$ est donc égale à $10$.