Exercice : Loi de probabilité, espérance et variance

Étape 1

Déterminons d'abord la probabilité d'obtenir chaque couleur lors du tirage. L'urne contenant $10$ boules au total, le tirage étant équiprobable, on a :$$P(\text{Rouge}) = \frac{3}{10} = 0{,}3$$ $$P(\text{Verte}) = \frac{4}{10} = 0{,}4$$ $$P(\text{Bleue}) = \frac{3}{10} = 0{,}3$$

Étape 2

Modélisons la situation à l'aide d'une variable aléatoire $X$ représentant le gain algébrique du joueur (gain brut perçu auquel on retranche la mise $m$ en euros).

Étape 3

La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant :$$\begin{array}{c|ccc} x_i & 15 - m & 5 - m & -m \\ \hline P(X = x_i) & 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}3 \end{array}$$

Étape 4

Calculons l'espérance mathématique $E(X)$ de cette variable aléatoire en fonction de $m$ :$$E(X) = (15 - m) \times 0{,}3 + (5 - m) \times 0{,}4 + (-m) \times 0{,}3$$ En développant l'expression :$$E(X) = 15 \times 0{,}3 - 0{,}3m + 5 \times 0{,}4 - 0{,}4m - 0{,}3m$$ $$E(X) = 4{,}5 + 2 - m = 6{,}5 - m$$

Étape 5

Par définition, le jeu est équitable lorsque l'espérance du gain algébrique est nulle, soit $E(X) = 0$. Ce qui équivaut à :$$6{,}5 - m = 0$$ D'où :$$m = 6{,}5$$ La mise doit donc être fixée à $6{,}5$ euros pour que le jeu soit équitable.