Exercice : Loi de probabilité, espérance et variance

Étape 1

Un tirage simultané de $2$ jetons parmi $8$ équivaut à un tirage successif sans remise de $2$ jetons.

Étape 2

Le nombre total de tirages ordonnés possibles est de $8 \times 7 = 56$.

Étape 3

Déterminons les probabilités associées aux différents résultats :

Étape 4

1) Événement $A$ : « Obtenir le jeton noir ». Le jeton noir peut être tiré au premier rang ($1 \times 7 = 7$ cas) ou au second rang ($7 \times 1 = 7$ cas), soit $14$ cas favorables au total. D'où : $$P(A) = \frac{14}{56} = \frac{1}{4}$$

Étape 5

2) Événement $B$ : « Obtenir deux jetons de même couleur sans le jeton noir ». Les tirages possibles sont deux jetons rouges ($4 \times 3 = 12$ cas) ou deux jetons bleus ($3 \times 2 = 6$ cas), soit $18$ cas favorables au total. D'où : $$P(B) = \frac{18}{56} = \frac{9}{28}$$

Étape 6

3) Événement $C$ : « Obtenir deux jetons de couleurs différentes sans le jeton noir ». Il s'agit du complémentaire des cas précédents. Le nombre de cas favorables est $56 - 14 - 18 = 24$ cas. D'où : $$P(C) = \frac{24}{56} = \frac{3}{7}$$

Étape 7

Soit $X$ la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur (gain brut moins la mise $m$). La loi de probabilité de $X$ est définie par :

Étape 8

$$P(X = 22 - m) = \frac{14}{56}, \quad P(X = 14 - m) = \frac{18}{56}, \quad P(X = -m) = \frac{24}{56}$$

Étape 9

Calculons l'espérance mathématique $E(X)$ en fonction de $m$ :

Étape 10

$$E(X) = \frac{14}{56}(22 - m) + \frac{18}{56}(14 - m) + \frac{24}{56}(-m)$$

Étape 11

$$E(X) = \frac{14 \times 22 + 18 \times 14 - (14 + 18 + 24)m}{56}$$

Étape 12

$$E(X) = \frac{308 + 252 - 56m}{56} = \frac{560 - 56m}{56} = 10 - m$$

Étape 13

Le jeu est équitable si et seulement si son espérance est nulle, ce qui équivaut à $10 - m = 0$, soit $m = 10$.

Étape 14

La mise initiale $m$ doit donc être de $10$ euros.