Exercice : Loi de probabilité, espérance et variance

Étape 1

On commence par identifier l'univers des tirages équiprobables parmi les $10$ jetons du sac.

Étape 2

La variable aléatoire $X$, représentant le gain algébrique du joueur, prend ses valeurs dans l'ensemble $\{-2 ; 1 ; 5\}$.

Étape 3

Calculons la probabilité associée à chaque valeur de $X$ :

Étape 4

Pour le tirage d'un jeton rouge (perte de $2$ €) : $P(X = -2) = \frac{5}{10} = 0{,}5$.

Étape 5

Pour le tirage d'un jeton vert (gain de $1$ €) : $P(X = 1) = \frac{3}{10} = 0{,}3$.

Étape 6

Pour le tirage d'un jeton jaune (gain de $5$ €) : $P(X = 5) = \frac{2}{10} = 0{,}2$.

Étape 7

Par définition, l'espérance mathématique $E(X)$ est donnée par la formule :

Étape 8

$$E(X) = (-2) \times P(X = -2) + 1 \times P(X = 1) + 5 \times P(X = 5)$$

Étape 9

En remplaçant par les valeurs numériques, on obtient :

Étape 10

$$E(X) = (-2) \times 0{,}5 + 1 \times 0{,}3 + 5 \times 0{,}2$$

Étape 11

$$E(X) = -1 + 0{,}3 + 1 = 0{,}3$$

Étape 12

L'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est donc égale à $0{,}3$.