Étape 1
Déterminons d'abord les valeurs prises par la variable aléatoire $X$. Le joueur gagne soit $10\text{ €}$ si les deux jetons sont de même couleur, soit $1\text{ €}$ si les deux jetons sont de couleurs différentes. Ainsi, $X$ prend les valeurs $10$ et $1$.
Étape 2
Calculons la probabilité de l'événement $(X = 10)$, correspondant au tirage de deux jetons de même couleur (deux rouges, deux bleus ou deux verts). Le tirage s'effectuant sans remise, le nombre de jetons restants au second tirage est de $9$.
Étape 3
La probabilité d'obtenir deux jetons rouges est : $$P(\text{RR}) = \frac{2}{10} \times \frac{1}{9} = \frac{2}{90}$$ La probabilité d'obtenir deux jetons bleus est : $$P(\text{BB}) = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90}$$ La probabilité d'obtenir deux jetons verts est : $$P(\text{VV}) = \frac{5}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{20}{90}$$
Étape 4
Ces événements étant incompatibles, on additionne leurs probabilités : $$P(X = 10) = \frac{2}{90} + \frac{6}{90} + \frac{20}{90} = \frac{28}{90}$$
Étape 5
L'événement $(X = 1)$ est l'événement contraire d'avoir deux jetons de même couleur. On en déduit sa probabilité : $$P(X = 1) = 1 - P(X = 10) = 1 - \frac{28}{90} = \frac{62}{90}$$
Étape 6
On calcule l'espérance $E(X)$ à l'aide de la formule du cours : $$E(X) = 10 \times P(X = 10) + 1 \times P(X = 1)$$ $$E(X) = 10 \times \frac{28}{90} + 1 \times \frac{62}{90} = \frac{280 + 62}{90} = \frac{342}{90} = 3{,}8$$
Méthode clé
Pour calculer l'espérance d'une variable aléatoire, il faut d'abord établir sa loi de probabilité complète $P(X = x_i)$, puis calculer la somme $\sum x_i P(X = x_i)$.
Piège à éviter
Oublier que le tirage s'effectue sans remise (le nombre total de jetons passe de 10 à 9 au second tirage).
