Exercice : Loi de probabilité, espérance et variance

Étape 1

Identifions les événements décrits par le texte. L'événement « le retard est d'au moins 10 minutes » correspond à l'événement ensemble $\{X \ge 10\}$, qui réunit les cas $\{X = 10\}$ et $\{X = 15\}$. Sa probabilité est $P(X \ge 10) = 0{,}35$.

Étape 2

L'ensemble des valeurs possibles prises par la variable aléatoire $X$ est $\{0 ; 5 ; 10 ; 15\}$. La somme des probabilités de toutes ces valeurs est égale à $1$, soit : $$P(X = 0) + P(X = 5) + P(X \ge 10) = 1$$

Étape 3

En remplaçant par les valeurs données par l'énoncé, on obtient : $$0{,}4 + p + 0{,}35 = 1$$ ce qui équivaut à $$p + 0{,}75 = 1$$ d'où $$p = 0{,}25$$ La probabilité d'un retard de $5$ minutes est donc $P(X = 5) = 0{,}25$.

Étape 4

L'événement « le trajet est fluide » correspond à un retard inférieur ou égal à $8$ minutes, c'est-à-dire à l'événement $\{X \le 8\}$.

Étape 5

Les seules valeurs de $X$ inférieures ou égales à $8$ sont $0$ et $5$. L'événement $\{X \le 8\}$ s'écrit donc comme la réunion des événements incompatibles $\{X = 0\}$ et $\{X = 5\}$.

Étape 6

On calcule sa probabilité : $$P(X \le 8) = P(X = 0) + P(X = 5) = 0{,}4 + 0{,}25 = 0{,}65$$ La probabilité qu'un trajet choisi au hasard soit fluide est égale à $0{,}65$.