Exercice : Loi de probabilité, espérance et variance

Étape 1

Soit $X$ la variable aléatoire représentant le gain algébrique (en euros) d'un joueur sur une partie.

Étape 2

Le gain algébrique est égal à la somme reçue moins la mise de $3$ €.

Étape 3

Déterminons les différentes valeurs que peut prendre $X$ ainsi que leurs probabilités respectives :

Étape 4

Si le joueur tire la bille rouge ( $1$ chance sur $8$ ) : $$X = 15 - 3 = 12$$ d'où $P(X = 12) = \dfrac{1}{8}$.

Étape 5

Si le joueur tire une bille verte ( $3$ chances sur $8$ ) : $$X = 5 - 3 = 2$$ d'où $P(X = 2) = \dfrac{3}{8}$.

Étape 6

Si le joueur tire une bille jaune ( $4$ chances sur $8$ ) : $$X = 0 - 3 = -3$$ d'où $P(X = -3) = \dfrac{4}{8}$.

Étape 7

La loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est résumée dans le tableau suivant :

Étape 8

$$\begin{array}{c|ccc} x_i & 12 & 2 & -3 \\ \hline P(X = x_i) & \dfrac{1}{8} & \dfrac{3}{8} & \dfrac{4}{8} \end{array}$$

Étape 9

Le gain algébrique moyen par partie correspond à l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$, notée $E(X)$ :

Étape 10

$$E(X) = 12 \times \dfrac{1}{8} + 2 \times \dfrac{3}{8} + (-3) \times \dfrac{4}{8}$$

Étape 11

$$E(X) = \dfrac{12 + 6 - 12}{8} = \dfrac{6}{8} = 0{,}75$$

Étape 12

Le gain algébrique moyen d'un joueur par partie est de $0{,}75$ €.