Exercice : Loi de probabilité, espérance et variance

Étape 1

Déterminons d'abord la loi de probabilité du gain brut $G$. Les probabilités associées à chaque gain sont données par la proportion de secteurs sur la roue :

Étape 2

$$P(G = 0) = \dfrac{5}{10} = 0{,}5$$

Étape 3

$$P(G = 4) = \dfrac{3}{10} = 0{,}3$$

Étape 4

$$P(G = 10) = \dfrac{2}{10} = 0{,}2$$

Étape 5

Calculons l'espérance du gain brut $E(G)$ :

Étape 6

$$E(G) = 0 \times 0{,}5 + 4 \times 0{,}3 + 10 \times 0{,}2 = 0 + 1{,}2 + 2 = 3{,}2$$

Étape 7

L'espérance du gain brut est de $3{,}20$ €.

Étape 8

On note $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur. Le gain algébrique s'obtient en retranchant la mise $m$ au gain brut, soit $X = G - m$.

Étape 9

Par linéarité de l'espérance, on a :

Étape 10

$$E(X) = E(G) - m = 3{,}2 - m$$

Étape 11

Le jeu est équitable si et seulement si l'espérance du gain algébrique est nulle, c'est-à-dire $E(X) = 0$.

Étape 12

Ce qui équivaut à $3{,}2 - m = 0$, soit $m = 3{,}2$.

Étape 13

Pour que le jeu soit équitable, la mise doit être de $3{,}20$ €.