Volumes de la boule et d'assemblages
L'essentiel du cours (2 notions)
Volume d'une boule
Propriété : Pour un diamètre $d$ donné, calculer d'abord le rayon $r = \frac{d}{2}$.
Formule : $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
Exemple : Pour $r = 3\text{ cm}$ : $V = \frac{4}{3}\pi \times 3^3 = 36\pi \approx 113,1\text{ cm}^3$.
Volume d'un assemblage de solides
Méthode : 1. Décomposer la figure en solides simples. 2. Calculer le volume de chaque partie. 3. Additionner (ou soustraire) les volumes obtenus.
Exemple : Cylindre ($10\text{ cm}^3$) surmonté d'une demi-boule ($2\text{ cm}^3$) : $V = 10 + 2 = 12\text{ cm}^3$.
Un solide est composé d'un cylindre de révolution de rayon $3\text{ cm}$ et de hauteur $5\text{ cm}$, surmonté d'une demi-boule de même rayon.
- Calculer le volume du cylindre en fonction de $\pi$.
- Calculer le volume de la demi-boule en fonction de $\pi$.
- En déduire le volume total du solide sous la forme $k \times \pi\text{ cm}^3$.
Saisir la valeur du nombre $k$.
On considère une boule de rayon $r = 3\text{ cm}$.
Le volume exact de cette boule s'écrit sous la forme $k \times \pi\text{ cm}^3$, où $k$ est un nombre entier.
Saisir la valeur du nombre $k$.
Un récipient est constitué d'un cylindre de révolution de rayon $3\text{ cm}$ et de hauteur $h$, surmonté d'une demi-boule de même rayon $3\text{ cm}$.
Le volume total du récipient est égal à $76{,}5\pi\text{ cm}^3$.
En déterminant d'abord le volume de la demi-boule, calculer la hauteur $h$ du cylindre.
Saisir la valeur de $h$ (en cm).
Un artisan dispose d'un volume de cire liquide de $288\pi\text{ cm}^3$. Il souhaite fabriquer des boules de cire identiques ayant chacune un diamètre de $6\text{ cm}$.
En calculant d'abord le volume d'une boule en fonction de $\pi$, déterminer le nombre de boules complètes qu'il peut réaliser.
Saisir le nombre de boules pouvant être fabriquées.
Un flacon est constitué d'un cylindre de révolution de hauteur $h$ surmonté d'une demi-boule de même rayon.
Le rayon commun de la demi-boule et de la base du cylindre est de $3\text{ cm}$. Le volume total du flacon est égal à $54\pi\text{ cm}^3$.
Saisir la hauteur $h$ du cylindre en cm.
Un réservoir est constitué d'un cylindre de révolution prolongé à ses deux extrémités par deux demi-boules de même rayon.
La longueur totale du réservoir est de $22\text{ cm}$ et son diamètre est de $6\text{ cm}$.
Le volume total de ce réservoir s'écrit sous la forme $k \pi \text{ cm}^3$, où $k$ est un nombre entier.
Saisir la valeur de $k$.
Une boule a un volume exact égal à $36\pi\text{ cm}^3$.
À l'aide de la formule du volume d'une boule, déterminer la longueur de son rayon $r$.
Saisir la longueur du rayon en centimètres.
Un réservoir cylindrique de rayon $R = 6\text{ cm}$ et de hauteur $H = 15\text{ cm}$ est intégralement rempli d'eau. On souhaite utiliser l'intégralité de cette eau pour remplir de petits moules solides sans qu'ils ne débordent.
Chaque moule est un assemblage constitué d'une partie conique de rayon $r = 3\text{ cm}$ et de hauteur $h = 4\text{ cm}$, surmontée d'une partie en forme de demi-boule de même rayon $r = 3\text{ cm}$.
On cherche à déterminer le nombre entier maximal $N$ de moules que l'on peut ainsi remplir entièrement avec le contenu du réservoir.
Saisir la valeur de $N$.
Un réservoir fermé est constitué d'un cylindre de révolution de hauteur $h$ et de rayon $r$, surmonté d'une demi-boule de même rayon $r$.
Le périmètre du disque de base du cylindre mesure $12\pi\text{ cm}$ et le volume total du réservoir est égal à $288\pi\text{ cm}^3$.
Déterminer la valeur de la hauteur $h$ du cylindre, exprimée en centimètres.
Saisir la valeur de la hauteur h.