Exercice : Volumes de la boule et d'assemblages

Étape 1

Calculons d'abord le volume $V_{\text{moule}}$ d'un moule assemblage. Le moule se compose d'un cône de hauteur $h = 4\text{ cm}$ et de rayon $r = 3\text{ cm}$, ainsi que d'une demi-boule de rayon $r = 3\text{ cm}$.

Étape 2

Le volume du cône est $$V_{\text{cône}} = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4 = 12\pi\text{ cm}^3$$ Le volume de la demi-boule est $$V_{\text{demi-boule}} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{4}{3} \times \pi \times r^3\right) = \frac{2}{3} \times \pi \times 3^3 = 18\pi\text{ cm}^3$$ Le volume total d'un moule est donc $$V_{\text{moule}} = 12\pi + 18\pi = 30\pi\text{ cm}^3$$

Étape 3

Calculons ensuite le volume $V_{\text{réservoir}}$ du réservoir cylindrique de rayon $R = 6\text{ cm}$ et de hauteur $H = 15\text{ cm}$ : $$V_{\text{réservoir}} = \pi \times R^2 \times H = \pi \times 6^2 \times 15 = 540\pi\text{ cm}^3$$

Étape 4

Déterminons le nombre $N$ de moules entièrement remplis en divisant le volume du réservoir par le volume d'un moule : $$N = \frac{V_{\text{réservoir}}}{V_{\text{moule}}} = \frac{540\pi}{30\pi} = \frac{540}{30} = 18$$ On peut donc remplir exactement 18 moules sans débordement.